Annales thématiques corrigées du bac S : arithmétique. Enseignement de spécialité

Thèmes abordés :

1. Démonstration par récurrence.
2. Montrer que $9\times2^n-6$ est divisible par $6$.
3. Théorème de Bézout.
4. Divisibilité par $5$.
5. Congruences.

Thèmes abordés :

1. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l’équation $3x+4y=p$, $p$ entier relatif donné.
2. Multiplier une matrice carrée de format $3$ par un vecteur colonne.
3. Déterminer une représentation paramétrique d’une droite de l’espace.
4. Déterminer l’intersection d’une droite de l’espace et d’un plan de l’espace.

Thèmes abordés :

1. Déterminer l’inverse d’une matrice carrée de format 2.
2. Calculer des produits de matrices.
3. Démonstration par récurrence.
4. Savoir lire l’affichage d’un logiciel de calcul formel.
5. Résoudre dans $\mathbb{N}$ l’inéquation $\dfrac{-(2\times0,98-1)^n+1}{2}\leqslant0,25$.
6. Déterminer le reste de la division euclidienne d’un entier par $2$.

Thèmes abordés : (triangles rectangles à côtés entiers)

1. Déterminer les côtés entiers de certains triangles rectangles.
2. Calcul matriciel.
3. Démonstration par récurrence.

Thèmes abordés : (points d’un plan dont les coordonnées sont des entiers naturels)

1. Calcul matriciel.
2. Déterminer l’inverse d’une matrice carrée inversible.
3. Equation cartésienne d’un plan de l’espace.
4. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l’équation $2x+3y=11$.
5. Congruences.

Thèmes abordés : (cryptage et décryptage, chiffrement de Hill)

1. Résolution dans $\mathbb{Z}$ de l’équation $9d-26m=1$.
2. Théorème de Bézout.
3. Théorème de Gauss.
4. Multiplication d’une matrice carrée par une matrice colonne.
5. Inverse d’une matrice carrée inversible.
6. Calculs avec des congruences.
7. Inverser une congruence.
8. Coder et décoder.

Thèmes abordés : (cryptage et décryptage, chiffrement de Hill)

1. Multiplication d’une matrice carrée par une matrice colonne.
2. Reste d’une division euclidienne.
3. Codage.
4. Théorème de Bézout.
5. Carré d’une matrice carrée.
6. Inverse d’une matrice carrée inversible.
7. Calculs avec des congruences.
8. Inverser une congruence.
9. Coder et décoder.

Thèmes abordés : (points à coordonnées entières sur une droite)

1. Divisibilité.
2. Théorème de Bézout.
3. Théorème de Gauss.
4. Comprendre et faire fonctionner un algorithme.

Thèmes abordés : (vrai ou faux)

1. Calculs avec des congruences.
2. Divisibilité.
3. Formules des probabilités totales.
4. Corriger un algorithme.

Thèmes abordés : (codage et décodage)

1. Chiffrement affine.
2. Calculs avec des congruences.
3. Inverser une congruence.
4. Démonstration par récurrence.
5. Coder et décoder.

Thèmes abordés : (vrai ou faux)

1. Déterminer le chiffre des unités de $n^2+n$ en fonction de $n$.
2. Etudier la convergence d’une suite définie à l’aide un PGCD.
3. Produit de deux matrices de format $2$.
4. Formules des probabilités totales.
5. Suites évoluant conjointement.

Thèmes abordés : (codage et décodage)

1. Calcul de l’inverse d’une matrice inversible de format $2$.
2. Résolution dans $\mathbb{Z}$ de l’équation $3a-5b=3$.
3. Chiffrement affine.
4. Calculs avec des congruences.
5. Inverser une congruence.
6. Coder et décoder.

Thèmes abordés : (codage et décodage)

1. Déterminer le résultat affiché par un algorithme.
2. Modifier un algorithme.
3. Calculs avec des congruences.
4. Théorème de Bézout.
5. Inverser une congruence.

Thèmes abordés : (codage et décodage)

1. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l’équation $51x-26y=1$.
2. Théorème de Bézout.
3. Théorème de Gauss.
4. Calculs avec des congruences.
5. Inverser une congruence.

Thèmes abordés : (nombres triangolaires qui sont des carrés parfaits)

• Théorème de Bézout.
• Démonstration par récurrence.

Thèmes abordés : (triplets pythagoriciens)

1. Manipulations diverses.

Thèmes abordés : (codage et décodage)

1. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l’équation $15u-26v=1$.
2. Théorème de Bézout.
3. Théorème de Gauss.
4. Calculs avec des congruences.
5. Inverser une congruence.
6. Coder et décoder un message.
7. Montrer que deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes.

Thèmes abordés : (somme des diviseurs d’un entier)

1. Divisibilité.
2. Théorème de Gauss.
3. Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique.

Thèmes abordés : (nombres de Mersenne)

1. Théorème de Gauss.
2. Utilisation de congruences pour étudier une divisibilité.
3. Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique.
4. Montrer qu’un nombre est premier.
5. Analyse d’un algorithme.

Thèmes abordés :

1. Résolution dans $\mathbb{Z}$ de l’équation $8x+15y=146$.
2. Théorèmes de Bézout et Gauss.

Thèmes abordés : (nombres de Mersenne)

1. Montrer par l’absurde qu’il existe une infinité nombres premiers.
2. Théorème de Bézout.
3. Tester si un nombre est premier ou pas.
4. Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique.
5. Compléter un algorithme.

Thèmes abordés : (codage et décodage)

1. Calculs avec des congruences.
2. Produit de deux matrices carrées de format $2$.
3. Inverse d’une matrice carrée de format $2$.
4. Produit d’une matrice carrée de format $2$ par un vecteur colonne.
5. Codage grâce à des congruences.
6. Décodage en inversant ces congruences.

Thèmes abordés :

1. Analyse d’un algorithme.
2. Théorèmes de Bézout et de Gauss.
3. Résolution dans $\mathbb{Z}$ de l’équation $221x-331y=1$.
4. Suites arithmétiques.

Thèmes abordés :

1. Calculs avec des congruences.
2. Modification d’un algorithme.
3. Résolution dans $\mathbb{Z}$ de l’équation $12x+31y=503$.
4. Théorèmes de Bézout et Gauss.

Thèmes abordés : (codage et décodage)

1. Analyse d’un algorithme.
2. Division euclidienne.
3. Calculs avec des congruences.
4. Multiplication d’une matrice carrée par une matrice colonne.
5. Inverse d’une matrice inversible.

Thèmes abordés : (codage et décodage)

1. Calculs avec des congruences.
2. Raisonnement par contraposition.

Thèmes abordés : (codage et décodage)

1. Analyse d’un algorithme.
2. Division euclidienne.
3. Construction d’un algorithme.
4. Codage et décodage.

Thèmes abordés :

1. Résolution dans $\mathbb{Z}$ de l’équation $11x-5y=14$.
2. Théorèmes de Bézout et Gauss.
3. Calculs avec des congruences.
4. Recherche d’un PGCD.
5. Analyse d’un algorithme.

Thèmes abordés :

1. Résolution dans $\mathbb{Z}$ de l’équation $25x-108y=1$.
2. Théorèmes de Bézout et Gauss.
3. Calculs avec des congruences.
4. Décodage d’un message.

Thèmes abordés :

1. Restitution organisée de connaissances : montrer que si $a\equiv b\;(\text{mod}\;n)$ et $c\equiv d\;(\text{mod}\;n)$, alors $ac\equiv bd\;(\text{mod}\;n)$.
2. Résolution dans $\mathbb{Z}$ de l’équation $23x-26y=1$.
3. Théorèmes de Bézout et Gauss.
4. Calculs avec des congruences.
5. Résolution d’un système de congruences.
6. Codage et décodage d’un message (chiffrement de Hill).

Thèmes abordés :

1. Résolution dans $\mathbb{Z}$ de l’équation $4a+3b=5$.
2. Théorèmes de Bézout et Gauss.
3. Calculs avec des congruences.
4. Résolution de l’équation diophantienne $x’^2-y’^2=20$.

Thèmes abordés :

1. Montrer qu’un nombre est premier.
2. Montrer qu’un nombre n’est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$.
3. Calculs avec des congruences.
4. Théorème de Gauss.