Concours commun des instituts nationaux polytechniques (CCINP) 2019
CCINP 2019. Section MP
- CCINP 2019. Section MP. Mathématiques 1. Enoncé et Corrigé.
Sujet assez long et assez facile, composé de deux exercices et un problème indépendant.
L’exercice 1 fait établir l’égalité $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t}{e^t-1}\;dt=\dfrac{\pi^2}{6}$ en intégrant terme à terme une série de fonctions.
L’exercice 2 nous fait réétablir par deux méthodes différentes le résultat de cours : la fonction génératrice d’une somme de deux variables indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$ est le produit des deux fonctions génératrices. On applique ensuite ce résultat à une situation « concrète ».
Le problème étudie les séries de fonctions de terme général du type $x\mapsto a_n\dfrac{x^n}{1-x^n}$. On y utilise des résultats sur les séries entières et plus généralement les séries de fonctions, les suites sommables …
- CCINP 2019. Section MP. Mathématiques 2. Enoncé et Corrigé.
Sujet de longueur et de difficulté moyenne, composé de deux exercices et un problème indépendant.
L’exercice 1 est un exercice d’informatique tournant autour de la décomposition primaire d’un entier naturel supérieur ou égale à $2$.
L’exercice 2 étudie des endomorphismes d’un espace euclidien. On y définit sans le dire l’adjoint d’un endomorphisme.
Le problème étudie la notion de matrices carrées semblables dans différentes situations. On y utilise bon nombre de résultats sur la réduction des matrices carrées.
CCINP 2019. Section PC
- CCINP 2019. Section PC. Enoncé et Corrigé.
Sujet long et de difficulté moyenne, composé de trois exercices indépendants.
L’exercice 1 est consacré au produit scalaire $(P,Q)\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}P(t)Q(t)e^{-t}\;dt$ sur $\mathbb{R}[X]$ et aux polynômes de Laguerre. Beaucoup de thèmes de cours sont balayés : réduction, produit scalaire, intégration …
L’exercice 2 nous fait déterminer les solutions développables en série entière, solutions de l’équation différentielle $x^2(1-x)y^{(2)}-x(1+x)y’+y=0$.
L’exercice 3 s’intéresse à une marche aléatoire sur un triangle $ABC$ du plan. Mis à part l’utilisation des différentes formules classiques pour le calcul de probabilités, on calcule les puissances d’une certaine matrice carrée.
CCINP 2019. Section PSI
- CCINP 2019. Section PSI. Enoncé et Corrigé.
Sujet long avec des passages assez difficiles, composé de de deux problèmes indépendants.
Le problème 1 est un problème d’analyse qui balaye une bonne partie du programme.
Le problème 2 est un problème d’algèbre dans lequel on étudie les matrices tridiagonales du type $\left(\begin{array}{ccccc}\alpha&\beta&0&\ldots&0\\
\beta&\alpha&\beta&\ddots&\vdots\\
0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\beta\\
0&\ldots&0&\beta&\alpha
\end{array}
\right)$. On utilise des résultats sur la réduction, les polynômes (polynômes de Tchebychev de 2ème espèce), … Le problème se termine par la résolution de systèmes différentiels linéaires.