Documents disponibles pour la catégorie 2024

  • 4 énoncés de problèmes.
  • 4 corrigés de problèmes.

Concours E3A 2024

E3A 2024. Section MP/MPI

  • E3A 2024. Section MP.  / 

    Sujet de longueur et de difficulté moyennes, composé de 4 exercices indépendants.

    L’exercice 1 est consacré à l’étude de la variable aléatoire $Y=\left\lfloor\dfrac{X+1}{2}\right\rfloor$ où $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$.

    Dans l’exercice 2, on détermine le rayon de convergence et la somme de la série entière associée à la suite $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}^*}=\left(\dfrac{\cos(n)}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.

    L’exercice 3 nous fait étudier différentes propriétés des matrices carrées réelles vérifiant $A^T=3A^2-A-I_n$.

    L’exercice 4 est consacré au produit de convolution de deux fonctions : $\forall x\in\mathbb{R},\;f\star g(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x-t)g(t)\;dt$.

  • E3A 2024. Section MPI.  / Corrigé

    Sujet long et de difficulté moyenne, composé de 4 exercices indépendants.

    Dans l’exercice 1, on étudie un endomorphisme de l’espace $E$ des fonctions continues et bornées sur $\mathbb{R}$ : pour $f\in E$, on pose pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\Phi(f)(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{Arctan}(xt)\dfrac{f(t)}{1+t^2}\;dt$.

    Dans l’exercice 2, à l’aide de l’application $\begin{array}{ccc}(\mathbb{C}_n[X])^2&\rightarrow&\mathbb{R}\\(P,Q)&\mapsto&\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\overline{P\left(e^{i\theta}\right)}Q\left(e^{i\theta}\right)\;d\theta\end{array}$, on montre que pour tout polynôme $Q$ unitaire de degré $n$, $\text{Sup}\left\{|Q(z)|^2,\;z\in\mathbb{U}\right\}\geqslant1$ avec égalité si et seulement si $Q=X^n$.

    L’exercice 3 est un exercice de probabilités. On lance aléatoirement $n$ boules dans $N$ cases et on note $T_n$ le nombre de cases non vides. On étudie alors l’espérance de la variable $T_n$.

    L’exercice 4 est un exercice d’algèbre. On étudie les propriétés des matrices dites équitables : matrices carrées $A=\left(a_{i,j}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ vérifiant pour tout $(i,j,k)\in\{1,\ldots,n\}^3$, $a_{i,j}=a_{i,k}a_{k,j}$.

E3A 2024. Section PC

  • E3A 2024. Section PC. / Corrigé

    Sujet assez court et facile, composé de 4 exercices indépendants.

    L’exercice 1 étudie l’endomorphisme de $\mathbb{R}[X]$ $P\mapsto P+\lambda L(P)X$ où $L$ est la forme linéaire $P\mapsto\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)\;dt$.

    L’exercice 2 est un exercice de probabilités autour de la loi de Poisson.

    L’exercice 3 est consacré à l’étude de la série numérique de terme général $\dfrac{\sin\left(n^\alpha\right)}{n}$ où $\alpha\in]0,1[$.

    Dans l’exercice 4, on calcule la distance de $X^2$ à $\mathbb{R}_1[X]$ pour le produit scalaire $(P,Q)\mapsto\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{P(n)Q(n)}{2^n}$. On y calcule en particulier les sommes $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^k}{2^n}$ pour $k\in\{0,1,2\}$

E3A 2024. Section PSI

  • E3A 2024. Section PSI.  / Corrigé

    Sujet assez long, de difficulté moyenne, composé de 4 exercices indépendants.

    L’exercice 1 étudie les matrices aléatoires $\omega\mapsto A(\omega)=\begin{pmatrix}Y(\omega)&0\\2&Z(\omega)\end{pmatrix}$ où $Y$ et $Z$ sont deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi binomiale $\mathscr{B}\left(n,\dfrac{1}{2}\right)$.

    Dans l’exercice 2, on étudie l’endomorphisme de $E=C^0([0,1],\mathbb{R})$ qui à $f$ associe $F$ où, pour tout $x$ de $[0,1]$, $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\text{min}(x,t)f(t)\;dt$.

    L’exercice 3 est un exercice d’algèbre linéaire. On étudie les matrices symétriques réelles $M=\left(m_{i,j}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ où $m_{i,j}=\delta_{i,j}+\alpha x_ix_j+\beta y_iy_j$, où $x_1$, $\ldots$ , $x_n$ et $y_1$, $\ldots$ , $y_n$ sont des réels donnés.

    L’exercice 4 est un exercice d’analyse. On y étudie la suite d’intégrales $\left(\gamma_n\right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ où $\gamma_n=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1-t^{1/n}}{(1-t)^{1+1/n}}$.