Concours commun Mines-Ponts 2026

Les rapports de jurys du concours commun Mines-Ponts sont à cette adresse https://concoursminesponts.fr/ecrits/.

Mines 2026. Section MP

Epreuve d’analyse de longueur et de difficulté moyennes. On cherche à minimiser l’intégrale $T(y)=\displaystyle\int_{x_A}^{x_B}f(x,y(x),y'(x))\;dx$ où $f$ est une fonction donnée de classe $C^2$ sur un certain ouvert de $\mathbb{R}^3$ et $y$ est une fonction de classe $C^2$ sur $\left[x_A,x_B\right]$ prenant des valeurs données en $x_A$ et $x_B$. On établit d’abord le lemme fondamental du calcul variationnel : si $f$ continue sur $[a,b]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ vérifie $\displaystyle\int_a^bf(x)h(x)\;dx=0$ pour toute $h$ de classe $C^\infty$ sur $[a,b]$ telle que $h(a)=h(b)=0$, alors $f=0$. Dans ce but, on utilise la fonction $x\mapsto\left\{\begin{array}{l}e^{-\frac{1}{x}}\;\text{si}\;x>0\\0\;\text{si}\;x\leqslant0\end{array}\right.$ dont on montre qu’elle est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$. On applique ensuite les différents résultats pour montrer que le plus court chemin d’un point à un autre est la ligne droite et le plus rapide est la cycloïde (trajectoire d’une valve de bicyclette qui roule sur une route plate).

Epreuve assez longue, de difficulté moyenne avec quelques passages plus délicats. Algèbre et analyse sont mêlés avec même un peu de probabilités. On établit quelques propriétés classiques de $O_n(\mathbb{R})$ comme la compacité ou la non connexité par arcs. On s’intéresse au minimum de la fonction $M\mapsto\text{Tr}\left(M^TM\right)$ sur $SL_n(\mathbb{R})$ avec entre autres l’outil du calcul différentiel. Puis, on détermine les morphismes de groupes continus de $(\mathbb{U},\times)$ vers $\left(GL_n(\mathbb{R}),\times\right)$ puis de $(\mathbb{R},+)$ vers $\left(GL_n(\mathbb{R}),\times\right)$.

Mines 2026. Section PC

Epreuve.

Epreuve d’analyse de longueur et de difficulté moyennes, consacré à l’étude de l’équation différentielle $y^{(2)}+by=c$ $(E)$ où $b$ et $c$ sont des fonctions continues sur $\mathbb{R}$ et $2\pi$-périodiques. On s’intéresse à l’existence de solutions bornées et/ou périodiques. Après l’étude des cas particuliers, $b(x)=\omega^2$ et $c(x)=\cos(x)$ puis $b(x)=-(1+\cos(x))$ et $c(x)$ quelconque, on montre que si $(E)$ possède une solution $f_0$ telle que $f_0$ et $f_0’$ soient bornées, alors $(E)$ possède une solution périodique.

Mines 2026. Section PSI

Même épreuve que celle de la section PC.

Epreuve d’analyse, arithmétique et probabilités, longue et difficile par endroit. On s’intéresse dans ce problème à la probabilité $q_n(k)$ qu’un entier choisi au hasard et uniformément dans $\{1,\ldots,n\}$ soit sans facteur premier à l’exposant $k$. On y établit que pour tout $\theta\in]0,\pi[$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{\sin(k\theta)}{k}=\dfrac{\pi-\theta}{2}$ puis on calcule la somme $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\cos(nt)}{n^2}$. On en déduit le développement valable pour tout réel $x\neq0$ : $\dfrac{2\pi x}{e^{2\pi x}-1}=1-\pi x+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{2x^2}{x^2+n^2}$. Cette égalité permet ensuite de développer la série entière la fonction $h~:~x\mapsto\dfrac{x}{e^x-1}$ (prolongée par continuité en $0$ : pour tout $x\in]-2\pi,2\pi[$, $h(x)=1-\dfrac{1}{2}x+\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{b_k}{k!}x^k$ où les $b_k$ sont les nombres de Bernoulli puis on fait le lien entre ces nombres et la fonction $\zeta$. On définit ensuite la fonction arithmétique de Möbius notée $\mu$ : $\forall m\in\mathbb{N}*$, $\mu(m)=\left\{\begin{array}{l}1\;\text{si}\;m=1\\(-1)^q\;\text{si}\;m\;\text{est le produit de}\;q\;\text{nombres premiers}\\0\;\text{sinon}\end{array}\right.$. On montre que $\displaystyle\sum_{d=1}^{+\infty}\dfrac{\mu(d)}{d^s}=\dfrac{1}{\zeta(s)}$ pour tout $s>1$ et on en déduit que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}q_n(k)=\dfrac{1}{\zeta(k)}$.