Concours commun Mines-Ponts 2026

Les rapports de jurys du concours commun Mines-Ponts sont à cette adresse https://concoursminesponts.fr/ecrits/.

Mines 2026. Section MP

Sujet de longueur et de difficulté.

Epreuve .

Mines 2026. Section PC

Epreuve.

Epreuve.

Mines 2026. Section PSI

Même épreuve que celle de la section PC.

Epreuve d’analyse, arithmétique et probabilités, longue et difficile par endroit. On s’intéresse dans ce problème à la probabilité $q_n(k)$ qu’un entier choisi au hasard et uniformément dans $\{1,\ldots,n\}$ soit sans facteur premier à l’exposant $k$. On y établit que pour tout $\theta\in]0,\pi[$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{\sin(k\theta)}{k}=\dfrac{\pi-\theta}{2}$ puis on calcule la somme $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\cos(nt)}{n^2}$. On en déduit le développement valable pour tout réel $x\neq0$ : $\dfrac{2\pi x}{e^{2\pi x}-1}=1-\pi x+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{2x^2}{x^2+n^2}$. Cette égalité permet ensuite de développer la série entière la fonction $h~:~x\mapsto\dfrac{x}{e^x-1}$ (prolongée par continuité en $0$ : pour tout $x\in]-2\pi,2\pi[$, $h(x)=1-\dfrac{1}{2}x+\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{b_k}{k!}x^k$ où les $b_k$ sont les nombres de Bernoulli puis on fait le lien entre ces nombres et la fonction $\zeta$. On définit ensuite la fonction arithmétique de Möbius notée $\mu$ : $\forall m\in\mathbb{N}*$, $\mu(m)=\left\{\begin{array}{l}1\;\text{si}\;m=1\\(-1)^q\;\text{si}\;m\;\text{est le produit de}\;q\;\text{nombres premiers}\\0\;\text{sinon}\end{array}\right.$. On montre que $\displaystyle\sum_{d=1}^{+\infty}\dfrac{\mu(d)}{d^s}=\dfrac{1}{\zeta(s)}$ pour tout $s>1$ et on en déduit que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}q_n(k)=\dfrac{1}{\zeta(k)}$.