Concours commun Mines-Ponts 2025
Les rapports de jurys du concours commun Mines-Ponts sont à cette adresse https://concoursminesponts.fr/ecrits/.
Mines 2025. Section MP
Sujet de longueur et de difficulté moyenne. Des probabilités et de l’analyse. On travaille sur des variables aléatoires finies et en particulier sur des combinaisons linéaires de variables aléatoires de Rademacher indépendantes.
On établit l’inégalité de Hölder : si $X\geqslant0$, $Y\geqslant0$, $p>0$, $q>0$ et $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$, alors $\mathbb{E}(XY)\leqslant
\left(\mathbb{E}\left(X^p\right)\right)^{\frac{1}{p}}\left(\mathbb{E}\left(X^q\right)\right)^{\frac{1}{q}}$.
On établit ensuite des inégalités de Khintchine : pour tout $p\geqslant 1$, il existe $\alpha_p>0$ et $\beta_p>0$ tels que $\alpha_p\|\;\|_p\leqslant\|\;\|_2\leqslant\beta_p\|\;\|_p$.
Epreuve assez longue et difficile. Pour $P=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kX^k$, $a_n\neq0$, donné, on définit $P_0=\displaystyle\sum_{k=0}^na_{n-k}X^k$. On pose $S=\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots& &\ddots&\ddots&0\\\vdots& & &\ddots&1\\0&\ldots&\ldots&\ldots&0\end{pmatrix}$ puis on définit $J(p)=\left(p_0(S)\right)^Tp_0(S)-(p(S))^Tp(S)$. Un des buts du problème est d’établir que, si $J(p)$ est inversible et $P$ est scindé sur $\mathbb{R}$, le nombre de racines de $P$ dans $]-1,1[$ est aussi le nombre de valeurs propres strictement positives, comptées avec leur multiplicité, de $J(p)$ (critère de Schur-Cohn).
Mines 2025. Section PC
Epreuve d’algèbre assez courte et assez facile. On étudie les matrices carrées inversibles, semblables à leur inverse. On fait le lien avec la notion de polynôme réciproque : $P=\displaystyle\sum_{k=0}^{p}a_kX^k$, $a_p\neq0$, est réciproque si et seulement si $\forall k\in\{0,\ldots,p\}$, $a_{p-k}=a_k$.
Epreuve d’analyse de longueur et de difficulté moyennes. On étude les séries $\displaystyle\sum_{k\geqslant0}\dfrac{(-1)^k}{pk+q}$ où $p$ et $q$ sont deux entiers naturels non nuls. Ces séries sont appelées séries congruo-harmoniques par l’énoncé. On établit entre autres la formule $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{q-1}}{1+t^p}\;dt=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{-1)^k}{pk+q}$. Vers la fin du problème, on fait un détour par les probabilités avec quelques calculs d’espérance.
Mines 2025. Section PSI
Même épreuve que celle de la section PC.
Epreuve d’analyse de longueur et de difficulté moyennes. On étudie le problème de Cauchy non linéaire : $\left\{\begin{array}{l}y’+y+1=\dfrac{1}{2}e^y\\y(0)=0\end{array}\right.$. Dans la deuxième moitié du problème, on fait le lien entre cette équation différentielle et le modèle SIR de propagation d’une épidémie non létale (S=suceptible d’être infecté, I=infecté, R=rétabli).