Concours E3A 2025
E3A 2025. Section MP/MPI
Sujet de longueur moyenne composé de trois exercices. L’exercice 2 est assez difficile.
Dans l’exercice 1, on détermine les extremas locaux de la fonction $f~:~(x,y,z,t)\mapsto x^2+y¨2+z^2+t^2$ sur $H=\left\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4/\;x+z=2\right\}$ par plusieurs méthodes.
L’exercice 2 est consacré à la matrice de Vandermonde des racines $n$-èmes de l’unité : $\left(\omega^{(k-1)(\ell-1)}\right)_{1\leqslant k,\ell\leqslant n}$ où $\omega=e^{\frac{2i\pi}{n}}$.
L’exercice 3 nous fait étudier la fonction $x\mapsto\displaystyle\int_{1}^{x}\dfrac{1}{t(f(t))^2}\;dt$ où pour tout réel $x$, $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{(n!)^2}$.
Sujet de longueur et de difficulté moyenne, assez difficile sur certains passages, composé de 3 exercices indépendants.
Dans l’exercice 1, on détermine le minimum global de la fonction $\left(x_1,\ldots,x_n\right)\mapsto\displaystyle\sum_{i=1}^ne^{x_i}$ sur $H=\left\{\left(x_1,\ldots,x_n\right)\in\mathbb{R}^n/\;x_1+\ldots+x_n=0\right\}$ (extremas liés).
L’exercice 2 est un exercice d’algèbre. On s’intéresse à l’endomorphisme $f$ de $\mathbb{C}_{n-1}[X]$ qui à $P\in\mathbb{C}_{n-1}[X]$ associe le reste de la division euclidienne de $AP$ par $B$ où $A=X^n-1$ et $B=X^n-X$. On trouve la matrice de $f$ dans la base canonique, la trace de $f$, le noyau et l’image de $f$, les éléments propres de $f$ …
L’exercice 3 est s’intéresse à $G(x)=\text{card}\left\{(k,\ell)\in\mathbb{N}^2/\;\sqrt{k^2+\ell^2}\leqslant x\right\}$. On établit par exemple que $G(x)\underset{x\rightarrow+\infty}{\sim}\dfrac{\pi x^2}{4}$.
E3A 2025. Section PC
Sujet de longueur et de difficulté moyennes composé de 4 exercices.
Dans l’exercice 1, on détermine les extremas globaux de la fonction $(x,y)\mapsto x^3+y^2$ sur $\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2/\;x^2+y^2\leqslant 4\right\}$, le disque fermé de centre $(0,0)$ et de rayon $2$.
L’exercice 2 s’intéresse à l’équation différentielle $x^2y »+xy’-\left(x^2+x+1\right)y=0$. On détermine une expression de l’unique solution $f$ développable en série entière sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(0)=1$.
L’exercice 3 nous fait analyser en profondeur la matrice $M_r=\begin{pmatrix}1&r&\ldots&r\\r&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&r\\r&\ldots&r&1\end{pmatrix}$.
L’exercice 4 est un exercice de probabilités consacré à l’étude de variables aléatoires $X$ et $Y$ entières, indépendantes et de même loi : $\forall k\in\mathbb{N}$, $\mathbb{P}(X=k)=\mathbb{P}(Y=k)=pq^k$ où $p\in]0,1[$ et $q=1-p$. On y détermine par exemple la loi de $M=\text{Min}(X,Y)$ et $V=Y-X$.
E3A 2025. Section PSI
Sujet pas très long, de difficulté moyenne, constitué de trois exercices.
L’exercice 1 est consacré à l’étude de la fonction $x\mapsto\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}$. On y utile quelques théorèmes classiques d’analyse.
Dans l’exercice 2, on étudie les éléments propres de l’endomorphisme de $\mathbb{C}_{n}[X]$ : $P\mapsto P »-4XP’$.
L’exercice 3 est quant à lui très de l’exercice 3 de l’épreuve de la section PC, à la nuance près qu’en fin d’exercice, on nous fait résoudre le système différentiel $Z’=M_rZ$ où $M_r=\begin{pmatrix}1&r&\ldots&r\\r&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&r\\r&\ldots&r&1\end{pmatrix}$.