Problèmes de concours en classes préparatoires : énoncés et corrigés
Cette page a pour but de lister un certain nombre d'épreuves des concours Centrale, Mines ou Mines-Ponts, CCINP et E3A. Les sujets de cette liste sont représentatifs de l'ensemble des épreuves de ces différents concours. Ils balayent la totalité du programme et abordent fréquemment des grands classiques qui ressurgissent périodiquement dans les différents concours.
Accès direct : Exercices Math Sup · Concours (écrits) · Oraux (banque)
Liste de problèmes de concours & grands classiques de concours
Irrationalité de zêta de 2 (algèbre et analyse) — Centrale 2025, section MP, maths 1
- Thèmes. La fonction $x\mapsto\pi(x)$ (nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $x$), irrationalité de $\zeta(2)$.
- Survol. On établit explicitement l'encadrement $\dfrac{\ln(2)}{6}\dfrac{x}{\ln(x)}\leqslant\pi(x)\leqslant4\dfrac{x}{\ln(x)}$ pour tout $x\geqslant3$ (cet encadrement nous rapproche du théorème des nombres premiers : $\pi(x)\underset{x\rightarrow+\infty}{\sim}\dfrac{x}{\ln(x)}$). Pour y parvenir, on analyse entre autres d'un point de vue arithmétique le coefficient binomial $\dbinom{2n}{n}$ grâce à la formule de Legendre $v_p(n!)=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\left\lfloor\dfrac{n}{p^k}\right\rfloor$. En ce qui concerne l'irrationalité de $\zeta(2)$, on utilise les polynômes $P_n=\dfrac{1}{n!}\left((X(1-X))^n\right)^{(n)}$, c'est-à-dire les polynômes de Legendre à un changement de variable près.
Liens utiles : Centrale 2025, section MP, maths 1 · Un topo sur $\zeta(2)$ · Un topo sur les polynômes de Legendre
La formule des compléments (analyse) — CCINP 2023, section MP, maths 1
- Thèmes. La formule des compléments : pour tout $\alpha\in]0,1[$, $\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha)=\dfrac{\pi}{\sin(\alpha\pi)}$.
- Survol. Dans le problème de l'épreuve, à l'aide d'un développement en série et d'une intégration terme à terme, on établit la formule valable pour tout $\alpha\in]0,1[$ : $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{x^{\alpha-1}}{1+x}\;dx=\dfrac{1}{\alpha}+2\alpha\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{\alpha^2-n^2}$. Puis, grâce à la formule $\cos(\alpha x)=\dfrac{\sin(\alpha\pi)}{\pi}\left(\dfrac{1}{\alpha}+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\dfrac{2\alpha\cos(nx)}{\alpha^2-n^2}\right)$, issue de la théorie des séries de Fourier et admise par l'énoncé, on établit : $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{x^{\alpha-1}}{1+x}\;dx=\dfrac{\pi}{\sin(\alpha\pi)}$. On dérive ensuite l'intégrale à paramètre $f_\alpha~:~x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{t^{\alpha-1}}{t+1}e^{-xt}\;dt$ et on obtient une équation différentielle du premier ordre que l'on résout, ce qui permet d'exprimer $f_\alpha$ en fonction de la fonction Gamma $x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\;dt$. On peut alors établir la formule des compléments et on en déduit encore la valeur de l'intégrale de Gauss : $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}\;dx=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$.
Liens utiles : CCINP 2023, section MP, maths 1 · Un topo sur la fonction $\Gamma$
Fonctions harmoniques et problème de Dirichlet (analyse) — Centrale 2018, section MP, maths 2
- Thèmes. Les fonctions harmoniques et le problème de Dirichlet.
- Survol. Les fonctions harmoniques sont les fonctions réelles $f$ de classe $C^2$ sur un ouvert dont le Laplacien est nul ($\Delta(f)=0$). Après avoir étudié quelques propriétés des fonctions $f$ telles que $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\partial^2f}{\partial x_k^2}=0$, on établit le principe du maximum faible, qui dit approximativement qu'une fonction harmonique sur un compact atteint son maximum sur la frontière de ce compact. On fait ensuite le lien entre les fonctions complexes développables en série entière et les fonctions harmoniques. À titre de première application, on donne une démonstration du théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme complexe non constant admet au moins une racine. On termine par la résolution du problème de Dirichlet : on cherche une fonction harmonique sur le disque unité ouvert dont les valeurs sur le cercle unité sont imposées.
Liens utiles : Centrale 2018, section MP, maths 2
Requêtes fréquentes (prépa)
- problèmes de concours maths spé corrigés
- sujets de concours maths prépa corrigés
- annales maths spé corrigées
- énoncés et corrigés concours maths mp
- centrale maths corrigé mp
- mines ponts maths corrigé mp
- ccinp maths corrigé mp
- e3a maths corrigé mp
- problèmes de concours corrigés prépa mp
- grands classiques de concours maths
- sujets concours maths avec corrigés
- exercices oraux maths spé
- oraux ccinp maths exercices corrigés
- oraux centrale mines maths exercices corrigés