Concours commun des instituts nationaux polytechniques (CCINP) 2020
CCINP 2020. Section MP
- CCINP 2020. Section MP. Mathématiques 1. Enoncé et Corrigé.
Sujet long avec quelques passages pouvant dérouter, composé d’un unique problème d’analyse.
Le sujet porte sur les développement ternaire d’un nombre réel : tout réel $x$ de $[0,1[$ s’écrit sous la forme $x=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{t_n(x)}{3^n}$ où, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $t_n(x)\in\{0,1,2\}$. Il est important de connaître le cours sur le développement décimal d’un réel et la partie entière d’un réel pour pouvoir l’adapter à la situation. Une partie est consacrée à des développements ternaires aléatoires. Dans une autre partie, on étudie une série de fonctions que l’on dérive ou intègre terme à terme.
- CCINP 2020. Section MP. Mathématiques 2. Enoncé et Corrigé.
Sujet de longueur et de difficulté moyennes, composé de deux exercices et un problème indépendants.
L’exercice 1 est consacré au calcul des puissances successives de la matrice $\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{array}\right)$ et de son polynôme minimal, ainsi qu’au calcul d’une de ses racines carrées.
L’exercice 2 étudie les propriétés topologiques usuelles de $GL_n(\mathbb{R})$.
Le problème étudie les similitudes d’un espace euclidien (composées d’une homothétie et d’une isométrie). On y utilise une grande partie du cours sur les espaces euclidiens et en particulier le cours sur les aumorphismes orthogonaux.
CCINP 2020. Section PC
- CCINP 2020. Section PC. Enoncé et Corrigé.
Sujet de longueur et de difficulté moyennes, composé de trois exercices indépendants.
L’exercice 1 est consacré au calcul de l’intégrale de Dirichlet $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\;dt$ à partir de l’étude de l’intégrale à paramètres $x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}e^{-xt}\;dt$.
L’exercice 2 étudie les propriétés topologiques usuelles de $GL_n(\mathbb{R})$.
Le problème étudie les similitudes d’un espace euclidien (composées d’une homothétie et d’une isométrie). On y utilise une grande partie du cours sur les espaces euclidiens et en particulier le cours sur les aumorphismes orthogonaux.
CCINP 2020. Section PSI
- CCINP 2020. Section PSI. Enoncé et Corrigé.
Sujet long avec quelques passages difficiles, composé de deux problèmes indépendants.
Le problème 1 est un problème d’analyse. Les thèmes de cours utilisés sont : intégration, intégrales à paramètre (on calcule explicitement $\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-tx}\cos(\alpha t)\;dt$ pour $x>0$ et $\alpha>0$), sommes et produits d’expressions trigonométriques, sommes de Riemann.
Le problème 2 est un problème d’algèbre. Dans l’espace engendré par les fonctions $x\mapsto\cos^{k}(x)\sin^{n-k}(x)$, $0\leqslant k\leqslant n$, on y étudie l’endomorphisme $f\mapsto f’$. On est alors amené à travailler sur des matrices tri-diagonales appelées matrices de Kac. Le problème se termine par une partie consacrée à des variables aléatoires dont la loi est décrite grâce à ces matrices.