Analyse en classes préparatoires : cours, exercices corrigés et sujets de concours

Suites et fonctions : généralités

• Notions clés : suites et fonctions de référence, suites et fonctions bornées, sens de variation, suites extraites.
• Techniques : différence des deux termes consécutifs, manipulations d'inégalités, majoration de valeurs absolues.

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Suites et fonctions : limites, développements asymptotiques

• Notions clés : existence de limites, calculs de limites, calculs de développements asymptotiques.
• Techniques : théorèmes d'existence de limites, théorèmes de croissances comparées, manipulations d'inégalités, calculs de développements limités.

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Fonctions : continuité

• Notions clés : fonctions continues, théorème des valeurs intermédiaires, théorèmes locaux et globaux, fonctions uniformément continues.
• Techniques : existence d'extremums, existence d'une solution d'équation, approximation uniforme, théorème de Heine, théorème de Weierstrass.

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Fonctions : dérivation, fonctions convexes

• Notions clés : fonctions dérivables, fonctions de classe C1, de classe Ck, fonctions indéfiniment dérivables, fonctions convexes.
• Techniques : utiliser le théorème de Rolle, utiliser le théorème des accroissements finis, dériver n fois un produit de fonctions avec la formule de Leibniz, utiliser des inégalités de convexité.

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Fonctions : intégration

• Notions clés : intégration sur un segment, intégration sur un intervalle quelconque, primitives, calculs d'intégrales, intégrales à paramètre.
• Techniques : intégration par parties, changements de variable, étude d'une suite d'intégrales (encadrements), étudier une intégrale à paramètre, intégrale de Gauss, intégrales de Fresnel, intégrale de Dirichlet, fonction Gamma.

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Séries numériques, familles sommables

• Notions clés : convergence ou divergence d'une série, calculs de la somme d'une série, évaluation du reste et vitesse de convergence, familles sommables.
• Techniques : utilisation des relations de comparaison, théorèmes de croissances comparées, sommes télescopiques, séries géométriques.

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Suites et séries de fonctions

• Notions clés : convergence simple, convergence uniforme, convergence normale, théorème de la double limite (ou théorème d'interversion des limites), continuité de la somme, dérivation terme à terme, intégration terme à terme.
• Techniques : manipulation de la norme infinie, étude complète de la fonction zêta de Riemann.

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Suites entières

• Notions clés : rayon de convergence, convergence normale, somme d'une série entière.
• Techniques : calculs de rayons de convergence (inégalités, règle de d'Alembert), calculs de sommes de séries entières (formulaire, dérivation, intégration).

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Topologie des espaces vectoriels normés

• Notions clés : normes, boules, ouverts, fermés, compacts, adhérence, intérieur, continuité, continuité des applications linéaires, continuité uniforme.
• Techniques : suites extraites, théorème de Bolzano-Weierstrass, théorème de Heine.

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Équations différentielles

• Notions clés : équations différentielles linéaires du premier ordre ou du second ordre, systèmes d'équations différentielles linéaires.
• Techniques : méthode de Lagrange, variation de la constante, recherche de solutions développables en série entière, exponentielle d'une matrice, théorème de Cauchy, étude qualitative des solutions.

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Fonctions de plusieurs variables

• Notions clés : fonctions de plusieurs variables, dérivées partielles.
• Techniques : calculer des dérivées partielles en un point, utiliser la règle de la chaîne, utiliser une matrice jacobienne, théorème de Schwarz.

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Étudier une limite sans partir dans tous les sens

• Identifier d’abord la forme : quotient, composée, différence, exponentielle, logarithme, suite explicite ou suite définie par récurrence.
• Comparer les croissances, factoriser le terme dominant ou utiliser un développement limité si pertinent.
• Erreur fréquente : enchaîner des équivalents dans une somme ou une différence hors d’un cadre autorisé.

Continuité : le bon réflexe

• Vérifier le domaine, puis les limites aux bornes ou au(x) point(s) délicat(s) avant de conclure.
• Erreur fréquente : conclure à la continuité sans traiter le(s) point(s) singulier(s).

Dérivation : aller au bon théorème

• Penser au théorème de Rolle, au théorème des accroissements finis ou à la convexité selon la question posée.
• Pour une étude de variations, repartir proprement du signe de la dérivée.
• Erreur fréquente : citer le bon théorème mais oublier d’en vérifier les hypothèses.

Intégration : choisir la bonne méthode

• Se demander d’abord s’il faut une primitive, une intégration par parties, un changement de variable ou un encadrement.
• Pour une intégrale impropre ou une intégrale à paramètre, vérifier la convergence avant le calcul.
• Erreur fréquente : faire un changement de variable sans transformer toutes les bornes ou l'élément différentiel.

Séries numériques : le bon test au bon moment

• Commencer par reconnaître la forme : série géométrique, télescopique, série de Riemann, série à termes positifs, série alternée.
• Utiliser comparaison, équivalent, règle de d’Alembert ou étude du reste selon le cas.
• Erreur fréquente : utiliser un critère sans vérifier ses conditions d’application.