Concours commun Centrale 2024

Les rapports de jurys du concours commun Centale-Supelec sont à cette adresse http://centrale-supelec.scei-concours.org/CentraleSupelec.

Centrale 2024. Section MP. Mathématiques 1. Enoncé / Corrigé.

Epreuve assez longue et de difficulté moyenne consacrée à l’inégalité de Carleman : pour toute suite positive $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_1\ldots a_n\right)^{\frac{1}{n}}\leqslant e\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_n$. On y utilise de la convexité, du calcul intégral, les fonctions de plusieurs variables et en particulier le théorème des extremas liés, et des séries entières.
Centrale 2024. Section MP. Mathématiques 2. Enoncé / Corrigé.

Epreuve d’algèbre/analyse de longueur et de difficulté moyenne. On s’intéresse à l’équation fonctionnelle $\left(E_h\right)$ : $f(x+1)-f(x)=h(x)$ où $h$ est une fonction développable en série entière sur $\mathbb{R}$. Le cas particulier où $h$ est un polynôme nous amène à l’étude de l’opérateur $\Delta~:~P\mapsto P(X+1)-P(X)$ et à l’étude des polynômes de Bernoulli.

Centrale 2024. Section PC. Mathématiques 1. Enoncé / Corrigé.

Epreuve d’algèbre/analyse de longueur et de difficulté moyennes, consacrée à différentes méthodes d’approximation de racines carrées de nombres et de racines carrées de matrices.
Centrale 2024. Section PC. Mathématiques 2. Enoncé / Corrigé.

Epreuve longue autour des produits infinis. Beaucoup de thèmes classiques y défilent : fonction $\Gamma$, constante d’Euler … La plupart des théorèmes usuels d’analyse y sont utilisés : dérivation de la limite d’une suite de fonctions, théorème de convergence dominée, continuité d’une intégrale à paramètre, … On y établit entra autre que pour tout réel $x$, $\sin(x)=x\displaystyle\prod_{j=1}^{+\infty}\left(1-\dfrac{x^2}{(j\pi)^2}\right)$. On en déduit la formule des compléments : $\forall x\in]0,1[$, $\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi x)}$.

Centrale 2024. Section PSI. Mathématiques 1. Enoncé / Corrigé.

Epreuve assez longue mais très classique consacrée au produit scalaire $(f,g)\mapsto\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)g(x)e^{-x^2}\;dx$ et aux polynômes de Hermite. On y voir défiler les intégrales de Wallis, un calcul de l’intégrale de Gauss, des séries entières, de l’intégration terme à terme, …
Centrale 2024. Section PSI. Mathématiques 2. Enoncé / Corrigé.

Epreuve de difficulté moyenne mais longue et pénible. Tout tourne autour de la constante $\gamma$ d’Euler en balayant l’ensemble du programme d’analyse (suites de fonctions, théorème de convergence dominée, intégration terme à terme, intégrales à paramètre, série entières, …). On y établit les formules $\gamma=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-t}\left(\dfrac{1}{1-e^{-t}}-\dfrac{1}{t}\right)dt$, $\gamma=-\ln(-\ln(t))\;dt$, $\gamma=\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\sum_{n=2}^{+\infty}\left(-\ln\left(1-\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}\right)x^n$, $\Gamma'(1)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\ln(t)e^{-t}\;dt=-\gamma$, … Et aussi une application au problème du collectionneur de vignettes en probabilités.

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