Concours commun Centrale 2022
Les rapports de jurys du concours commun Centale-Supelec sont à cette adresse https://www.concours-centrale-supelec.fr/sujets-rapports.Centrale 2022. Section MP
Epreuve assez longue et assez difficile consacrée aux « objets symplectiques ». Une forme symplectique $\omega$ sur un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie est une forme bilinéaire, anti-symétrique et non dégénérée ($(\forall y\in E,\;\omega(x,y)=0)\Rightarrow x=0$). Dans cette épreuve, on utilise beaucoup d’algèbre linéaire et un peu de topologie.
Epreuve d’analyse assez longue et assez difficile. On s’y consacre au théorème de dérivation terme à terme généralisé ($\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}f_n\right)^{(k)}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}f_n^{(k)}$) en cherchant à affaiblir très nettement les hypothèses du théorème. Un passage du problème se place d’un point de vue probabiliste.
Centrale 2022. Section PC
Epreuve de longueur et de difficulté moyennes consacrée aux matrices de covariance. Les principaux thèmes de cours utilisés sont : réduction et en particulier réduction des matrices symétriques réelles (on montre par exemple que pour une matrice symétrique réelle $A$, le maximum de $\left|U^TAU\right|$, où $U\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ et $U^TU=1$, est $\rho(A)$ le rayon spectral de la matrice $A$), et les variables aléatoires,
Epreuve longue et de difficulté moyenne. Sujet classique sur l’interpolation d’une fonction : polynômes de Lagrange, polynômes de Tchebychev, phénomène de Runge (il est possible que « la suite des polynômes de Lagrange » ne converge pas uniformément vers $f$).
Centrale 2022. Section PSI
Epreuve assez longue et de difficulté moyenne consacrée aux matrices aléatoires à coefficients dans $\{-1,1\}$. On y trouve de l’algèbre linéaire, des variables aléatoires, un peu d’analyse et un peu d’informatique.
Epreuve longue et classique, principalement d’analyse : étude du produit scalaire $\langle f,g\rangle=\displaystyle\int_0^{+\infty}f(t)g(t)\dfrac{e^{-t}}{t}\;dt$, étude de l’opérateur $f\mapsto U(f)$ où $U(x)~:~x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\left(e^{\text{min}(x,t)}-1\right)f(t)\dfrac{e^{-t}}{t}\;dt$, recherche de solutions développables en série entière d’une équation différentielle linéaire du second ordre, …