Concours E3A 2022
E3A 2022. Section MP
Sujet long et de difficulté moyenne, composé de 4 exercices indépendants.
L’exercice 1 est consacré au calcul de $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\cos(xt)e^{-t^2}\;dt$. Les thèmes de cours utilisés sont : fonction $\Gamma$ d’Euler, développement en série entière, intégration terme à terme, intégrales à paramètres, équations différentielles linéaires du premier ordre.
L’exercice 2 fait une étude asymptotique de l’espérance d’une certaine variable aléatoire $X_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ grâce à des sommes de Riemann.
L’exercice 3 nous fait étudier le maximum de l’expression $X^TAX$ où $A$ est une matrice carrée réelle et $X$ un vecteur colonne réel de norme inférieure ou égale à $1$.
L’exercice 4 s’intéresse aux matrices circulantes. On utilise des résultats sur les polynômes, des calculs sur les racines $n$-èmes de l’unité et des résultats sur la réduction des matrices et des endomorphismes.
E3A 2022. Section PC
Sujet long et de difficulté moyenne (avec quelques passages très calculatoires), composé de 4 exercices indépendants. L’exercice 1 est consacré au calcul de l’espérance d’une variable aléatoire égale au rang du dernier saut réussi par un sauteur en hauteur. On y utilise la formule des probabilités composées. L’exercice 2 est consacré au calcul de la somme $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n(t)\;dt$. On y étudie les intégrales de Wallis. On constate que les théorèmes d’intégration terme à terme à disposition ne fonctionnent pas et on va au bout du calcul grâce au théorème de convergence dominée pour les suites de fonctions. L’exercice 3 nous fait trouver les éléments propres d’une certaine matrice symétrique réelle $F$. L’exercice s’achève par la résolution du système différentiel $X'(t)=FX(t)+tU$ où $U$ est un certain vecteur colonne. L’exercice 4 nous fait calculer $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\left(\dfrac{\sin(t)}{t}\right)^2dt$ grâce à l’étude de l’intégrale à paramètre $x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\left(\dfrac{\sin(t)}{t}\right)^2e^{-tx}\;dt$.
E3A 2022. Section PSI
Sujet assez long et de difficulté moyenne, composé de 4 exercices indépendants. L’exercice 1 est consacré au calcul de la loi de probabilité et de l’espérance d’une certaine variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}^*$. On y calcule beaucoup de sommes de séries télescopiques. L’exercice 2 étudie l’endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ défini par $f(P)=Q$ où, $\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$, $Q(x)=\dfrac{1}{x-1}\displaystyle\int_{1}^{x}P(t)\;dt$. L’exercice 3 étudie l’intégrale à paramètres $x\mapsto\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}e^{2x\cos(t)}\;dt$. Dans cet exercice, on est amené à chercher des sommes de séries entières solutions d’une équation différentielle linéaire du second ordre. L’exercice 4 est un exercice d’algèbre linéaire autour des matrices symétriques, des matrices orthogonales … On s’intéresse aux matrices orthogonalement semblables à leur transposée.