Concours commun Mines-Ponts 2023

Les rapports de jurys du concours commun Mines-Ponts sont à cette adresse https://concoursminesponts.fr/ecrits/.

Mines 2023. Section MP

Sujet de longueur et de difficulté moyenne avec des passages délicats.
Thème abordé : un théorème de Liapounov étudiant la stabilité des solutions au problème de Cauchy $\left\{\begin{array}{l}y’=\varphi(y)\\y(0)=x_0\end{array}\right.$ où $\varphi\in C^1\left(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n\right)$ .

Parties de cours abordées : normes subordonnées, exponentielle d’un endomorphisme, réduction, projections, calcul différentiel.

Sujet très long et classique.
Thème : étude des fonctions $x\mapsto\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k^2}$ et $x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin(t))^x\;dt$.

Parties de cours abordées : à peu près tous les classiques de l’analyse de maths spé.

Mines 2023. Section PC

Sujet de longueur et de difficulté moyenne.

Thème : inégalités de convexité. Dans ce problème, on travaille beaucoup sur des matrices symétriques réelles positives ou définies positives et sur le déterminant.

Sujet assez court et assez facile avec de nombreux soucis de conception.
Etude des noyaux de Markov c’est-à-dire des matrices carrées à coefficients réels positifs telles que la somme des coefficients de toute ligne est égale à $1$.
On y trouve des variables aléatoires, des endomorphismes auto-adjoints, et sans le dire explicitement, l’exponentielle d’une matrice.

Mines 2023. Section PSI

Même sujet que PC maths 1.

Sujet de longueur et de difficulté moyennes.
Thème : étude du nombre de points fixes d’une permutation (on établit que la probabilité q’une permutation de $\{1,\ldots,n\}$ ait $k$ points fixes est $\dfrac{1}{k!}\displaystyle\sum_{i=0}^{n-k}\dfrac{(-1)^i}{i!}$) puis étude de la variation totale d’une distribution de probabilités sur $\mathbb{N}$.