Concours commun Mines-Ponts 2023

Mines 2023. Section MP. Mathématiques 1. Enoncé / Corrigé

Sujet de longueur et de difficulté moyenne avec des passages délicats.
Thème abordé : un théorème de Liapounov étudiant la stabilité des solutions au problème de Cauchy $\left\{\begin{array}{l}y’=\varphi(y)\\y(0)=x_0\end{array}\right.$ où $\varphi\in C^1\left(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n\right)$ .

Parties de cours abordées : normes subordonnées, exponentielle d’un endomorphisme, réduction, projections, calcul différentiel.
Mines 2023. Section MP. Mathématiques 2. Enoncé / Corrigé

Sujet très long et classique.
Thème : étude des fonctions $x\mapsto\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k^2}$ et $x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin(t))^x\;dt$.

Parties de cours abordées : à peu près tous les classiques de l’analyse de maths spé.

Mines 2023. Section PC et PSI. Mathématiques 1. Enoncé / Corrigé.

Sujet de longueur et de difficulté moyenne.

Thème : inégalités de convexité. Dans ce problème, on travaille beaucoup sur des matrices symétriques réelles positives ou définies positives et sur le déterminant.
Mines 2023. Section PC. Mathématiques 2. Enoncé / Corrigé

Sujet assez court et assez facile avec de nombreux soucis de conception.
Etude des noyaux de Markov c’est-à-dire des matrices carrées à coefficients réels positifs telles que la somme des coefficients de toute ligne est égale à $1$.
On y trouve des variables aléatoires, des endomorphismes auto-adjoints, et sans le dire explicitement, l’exponentielle d’une matrice.

Mines 2023. Section PSI et PC. Mathématiques 1. Enoncé / Corrigé

Même sujet que PC maths 1.
Mines 2023. Section PSI. Mathématiques 2. Enoncé / Corrigé

Sujet de longueur et de difficulté moyennes.
Thème : étude du nombre de points fixes d’une permutation (on établit que la probabilité q’une permutation de $\{1,\ldots,n\}$ ait $k$ points fixes est $\dfrac{1}{k!}\displaystyle\sum_{i=0}^{n-k}\dfrac{(-1)^i}{i!}$) puis étude de la variation totale d’une distribution de probabilités sur $\mathbb{N}$.

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