Concours E3A 2026

E3A 2026. Section MP/MPI

Sujet de longueur et de difficulté moyennes composé de trois exercices.

L’exercice 1 est un exercice d’algèbre linéaire. On y étudie l’endomorphisme de $\mathbb{C}_{n-1}[X]$ défini par : $\forall P\in\mathbb{C}_{n-1}[X]$, $u(P)=P(X+1)$.

L’exercice 2 est consacré à l’intégrale $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(at)}{e^t-1}\;dt$. On y établit entre autres que pour tout $a\in\mathbb{R}$, $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(at)}{e^t-1}\;dt=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{a}{a^2+k^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\zeta(2n+2)a^{2n+1}$.

L’exercice 3 est un exercice de probabilités. On étudie sur $\mathbb{R}^*$ la fonction $\Phi_X~:~t\mapsto\dfrac{1}{t}\ln\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\mathbb{P}\left(X=x_i\right)e^{x_it}\right)$ où $X$ est une variable finie prenant les valeurs $x_1$, $\ldots$ , $x_k$.

E3A 2026. Section PC

Sujet de longueur et de difficulté moyennes composé de 3 exercices.

Dans l’exercice 1, on étudie les éléments propres de la matrice antisymétrique $\begin{pmatrix}0&-1&0&0&0\\1&0&-1&0&0\\0&1&0&-1&0\\0&0&1&0&-1\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}$ avec un minimum de calculs.

L’exercice 2 s’intéresse à l’opérateur $T~:~f\mapsto F$ sur $\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ où pour tout $x\in[0,1]$, $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{f(t)}{t+x}\;dt$.

Dans l’exercice 3, on détermine le minimum et le maximum de la variance d’une variable aléatoire à valeurs dans $\{1,2,3\}$ en déterminant les extremas d’une fonction de deux variables.

E3A 2026. Section PSI

Sujet de longueur et de difficulté moyennes, constitué de 4 exercices.

Dans l’exercice 1, on détermine les extremas locaux de la fonction $f~:~\left(x_1,\ldots,x_n\right)\mapsto x_1^2+\ldots+x_n^2+\left(x_1+\ldots+x_n\right)^2-\left(x_1+\ldots+x_n\right)$.

L’exercice 2 nous fait étudier la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $v_0\in[-1,1]$ et pour tout $n\geqslant1$, $v_n=\ln\left(1-\dfrac{1}{2}v_{n-1}\right)$.

L’exercice 3 est consacré à l’étude de l’endomorphisme $\Phi$ de $\mathbb{R}_n[X]$ : $\forall P\in\mathbb{R}_n[X]$, $\Phi(P)=\left(\left(X^2-1\right)P\right)^{(2)}$. On détermine les éléments propres de $\Phi$ et on y établit entre autres que $\Phi$ est symétrique pour le produit scalaire $(P,Q)\mapsto\displaystyle\int_{0}^{1}\left(1-t^2\right)P(t)Q(t)\;dt$.

Dans l’exercice 4, on montre qu’il n’est pas possible de truquer deux dés de façon à ce que la variable aléatoire égale à la somme des points obtenus suive une loi uniforme. Pour cela, on fait un travail sur les fonctions génératrices qui sont polynomiales.