Concours E3A 2026
E3A 2026. Section MP
Sujet de longueur et de difficulté moyennes composé de trois exercices.
L’exercice 1 est un exercice d’algèbre linéaire. On y étudie l’endomorphisme de $\mathbb{C}_{n-1}[X]$ défini par : $\forall P\in\mathbb{C}_{n-1}[X]$, $u(P)=P(X+1)$.
L’exercice 2 est consacré à l’intégrale $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(at)}{e^t-1}\;dt$. On y établit entre autres que pour tout $a\in\mathbb{R}$, $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(at)}{e^t-1}\;dt=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{a}{a^2+k^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\zeta(2n+2)a^{2n+1}$.
L’exercice 3 est un exercice de probabilités. On étudie sur $\mathbb{R}^*$ la fonction $\Phi_X~:~t\mapsto\dfrac{1}{t}\ln\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\mathbb{P}\left(X=x_i\right)e^{x_it}\right)$ où $X$ est une variable finie prenant les valeurs $x_1$, $\ldots$ , $x_k$.
E3A 2026. Section MPI
Sujet de longueur et de difficulté moyennes composé de trois exercices.
L’exercice 1 est un exercice de probabilités. On effectue $n$ fois une même expérience à $r$ issues $\alpha_1$, $\ldots$ , $\alpha_r$, de probabilités respectives $x_1$, $\ldots$ , $x_r$ et on cherche à minimiser l’espérance de la variable aléatoire $X$ égale au nombre de résultats qui n’ont jamais été obtenus au cours des $n$ épreuves.
L’exercice 2 est consacré à l’étude des fonctions $E_k~:~x\mapsto\dfrac{1}{x^k}+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{(x-n)^k}+\dfrac{1}{(x+n)^k}\right)$, $k\in\mathbb{N}^*$. On établit en particulier la formule : pour tout $x\in]-1,1[\setminus\{0\}$, $E_k(x)=\dfrac{1}{x^k}+2(-1)^k\displaystyle\sum_{s=1}^{+\infty}\dbinom{2s-1}{k-1}\zeta(2s)x^{2s-1}$ où $\zeta$ est la fonction zeta de Riemann.
L’exercice 3 est un exercice d’algèbre linéaire. On étitudie la diagonalisabilité et la diagonalisation de la matrice $M=\begin{pmatrix}0&\ldots&0&a_1\\\vdots& &\vdots&\vdots\\0&\ldots&0&a_{n-1}\\a_1&\ldots&a_{n-1}&a_n\end{pmatrix}$, $a_1\neq0$, dans le cas où $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ puis dans le cas où $\mathbb{K}=\mathbb{C}$.
E3A 2026. Section PC
Sujet de longueur et de difficulté moyennes composé de 3 exercices.
Dans l’exercice 1, on étudie les éléments propres de la matrice antisymétrique $\begin{pmatrix}0&-1&0&0&0\\1&0&-1&0&0\\0&1&0&-1&0\\0&0&1&0&-1\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}$ avec un minimum de calculs.
L’exercice 2 s’intéresse à l’opérateur $T~:~f\mapsto F$ sur $\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ où pour tout $x\in[0,1]$, $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{f(t)}{t+x}\;dt$.
Dans l’exercice 3, on détermine le minimum et le maximum de la variance d’une variable aléatoire à valeurs dans $\{1,2,3\}$ en déterminant les extremas d’une fonction de deux variables.
E3A 2026. Section PSI
Sujet de longueur et de difficulté moyennes, constitué de 4 exercices.
Dans l’exercice 1, on détermine les extremas locaux de la fonction $f~:~\left(x_1,\ldots,x_n\right)\mapsto x_1^2+\ldots+x_n^2+\left(x_1+\ldots+x_n\right)^2-\left(x_1+\ldots+x_n\right)$.
L’exercice 2 nous fait étudier la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $v_0\in[-1,1]$ et pour tout $n\geqslant1$, $v_n=\ln\left(1-\dfrac{1}{2}v_{n-1}\right)$.
L’exercice 3 est consacré à l’étude de l’endomorphisme $\Phi$ de $\mathbb{R}_n[X]$ : $\forall P\in\mathbb{R}_n[X]$, $\Phi(P)=\left(\left(X^2-1\right)P\right)^{(2)}$. On détermine les éléments propres de $\Phi$ et on y établit entre autres que $\Phi$ est symétrique pour le produit scalaire $(P,Q)\mapsto\displaystyle\int_{0}^{1}\left(1-t^2\right)P(t)Q(t)\;dt$.
Dans l’exercice 4, on montre qu’il n’est pas possible de truquer deux dés de façon à ce que la variable aléatoire égale à la somme des points obtenus suive une loi uniforme. Pour cela, on fait un travail sur les fonctions génératrices qui sont polynomiales.