Sujet long et de difficulté moyenne avec quelques passages délicats, composé de 4 exercices indépendants.
L’exercice 1 permet de montrer que $\displaystyle\int_0^1x^{-x}\;dx=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-n}$. On y étudie une série de fonctions que l’on intègre ensuite terme à terme.
L’exercice 2 étudie des sommes de projecteurs orthogonaux en dimension finie.
L’exercice 3 est un exercice de probabilités. Les thèmes de cours abordés sont : séries entières, variables aléatoires (fonctions génératrices, espérance, variance).
L’exercice 4 étudie un endomorphisme de l’espace $\mathbb{R}_n[X]$.
Sujet assez long de difficulté moyenne, composé de 4 exercices indépendants.
L’exercice 1 permet de calculer la somme $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+2)}$. On y intègre terme à terme une série de fonctions.
L’exercice 2 étudie l’application qui à $f$ élément de $\mathbb{R}_n[X]$ associe la fonction $x\mapsto e^{-x}\displaystyle\int_{-\infty}^{x}f(t)e^t\;dt$. Les thèmes de cours abordés sont : réduction ( valeurs et vecteurs propres, …), intégration sur un intervalle quelconque, équations différentielles.
L’exercice 3 nous fait calculer l’exponentielle d’une matrice format $(2,2)$.
L’exercice 4 est un exercice sur les polynômes de Lagrange et l’espace euclidien $\left(\mathbb{R}_n[X],(\;|\;)\right)$ où $(P|Q)=\displaystyle\sum_{j=0}^{n}P\left(a_j\right)Q\left(a_j\right)$ où $a_0$, … , $a_n$, sont $n+1$ réels deux à deux distincts.
Sujet de longueur et de difficulté moyennes, composé de 4 exercices indépendants.
L’exercice 1 est un exercice d’analyse. Les thèmes abordés sont : espace engendré par et la fonction $x\mapsto\ln(1+x)$ et la famille de fonctions $\left(x\mapsto\dfrac{1}{(1+x)^k}\right)$, valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme de cet espace, équations différentielles linéaires, séries de fonctions, théorème de dérivation terme à terme.
L’exercice 2 étudie une suite de variables aléatoires non indépendantes suivant des lois de Poisson. On y résout une récurrence linéaire double.
L’exercice 3 s’intéresse à la série entière $\displaystyle\sum_{n\geqslant1}I_nx^n$ où $I_n=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}e^{-t^n}\;dt$.
Dans l’exercice 4 qui est un exercice d’algèbre linéaire, on étudie les endomorphismes d’un espace de dimension finie vérifiant $\forall k\in\mathbb{N},\;u^k=\displaystyle\sum_{j=1}^{m}\lambda_i^kp_j$ où $p_1$, … , $p_m$ sont des projecteurs et $\lambda_1$, … , $\lambda_m$ sont des nombres complexes deux à deux distincts. On y utilise les polynômes de Lagrange.
