Exercices d’oraux type CCINP
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Pour $n\in\mathbb{N}^*$ et $p\in\{0,\ldots,n\}$, on note $N(n,p)$ le nombre de permutations de $\{1,\ldots,n\}$ possédant exactement $p$ points fixes. En particulier, on posera $D(n)=N(n,0)$.
On pose conventionnellement $D(0)=1$ puis on pose
$$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{D(n)}{n!}x^n.$$
1) Par dénombrement, montrer que
$$\forall p\in\{0,\ldots,n\},\;N(n,p)=\dbinom{n}{p}D(n-p).$$
Montrer également que l’on a, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\displaystyle\sum_{p=0}^{n}N(n,p)=n!$.
2) Justifier que $f$ est bien définie sur $]-1,1[$. Prouver également que pour tout $x\in]-1,1[$, $f(x)e^x=\dfrac{1}{1-x}$.
3) En déduire une expression de $N(n,p)$.
4) Trouver la limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de $\dfrac{N(n,p)}{n!}$ en fonction de $p$. Interpréter.
1) Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Par définition, $N(n,0)=D(n)=\dbinom{n}{0}D(n-0)$.
Soit $p\in\{1,\ldots,n\}$. Soit $\left(a_1,\ldots,a_p\right)\in\{1,\ldots,n\}^p$ tel que $a_1<a_2<\ldots<a_p$.