Concours commun des instituts nationaux polytechniques (CCINP) 2025
CCINP 2025. Section MP et MPI
Sujet de longueur moyenne et assez facile composé de deux exercices et un problème.
L’exercice I fait étudier la dérivabilité en $0$ de la fonction $f~:~t\mapsto\left\{\begin{array}{l}\left(t^2\sin\left(\dfrac{1}{t}\right),t^2\cos\left(\dfrac{1}{t}\right)\right)\;\text{si}\;t\in]-1,1[\setminus\{0\}\\(0,0)\;\text{si}\;t=0\end{array}\right.$.
L’exercice II nous fait déterminer le mininimum de la fonction $f~:~(x,y,z)\mapsto(2-x-y)^2+(1-x)^2+(1-2x-y)^2$ par deux méthodes. La première méthode consiste à déterminer le point critique puis à utiliser la matrice hessienne. La deuxième méthode consiste à appliquer le théorème de la projection orthogonale.
Dans le problème, on effectue de nombreuses comparaisons séries-intégrales.
Sujet de longueur et de difficulté moyennes, composé de deux exercices et un problème.
Dans l’exercice I, après avoir établi l’inégalité entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique, on montre que pour toute $A\in S_n^{++}(\mathbb{R})$, $\det(A)\leqslant a_{1,1}\times\ldots\times a_{n,n}$ avec égalité si et seulement si $A$ est diagonale.
L’exercice II est consacré aux polynômes de Tchebychev de 1ère espèce et entre autre, à leur orthogonalité pour le produit scalaire $(P,Q)\mapsto\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{P(t)Q(t)}{\sqrt{1-t^2}}\;dt$.
Dans le problème, on étudie les matrices carrées de rang $1$. On fait un détour par les probabilités en s’intéressant à la matrice $M=\left(X_iX_j\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ où $X_1$, $\ldots$ , $X_n$, sont $n$ variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Bernoulli de paramètre $p\in]0,1[$.
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Sujet de longueur et de difficulté moyennes, composé de deux exercices et un problème. L’exercice 1 est un exercice d’informatique. L’exercice 2 et le problème sont ceux du sujet MPI.
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CCINP 2025. Section PC
Sujet long de difficulté moyenne composé de trois exercices.
L’exercice 1 est un exercice d’algèbre linéaire. Pour $A\in M_n(\mathbb{C})$ donnée, on considère $\varphi_A$, l’endomorphisme de $M_n(\mathbb{C})$ $M\mapsto AM$. On montre entre autre que $A$ est diagonalisable si et seulement si $\varphi_A$ est diagonalisable.
L’exercice 2 est consacré à l’étude des polynômes de Hermite $H_n$, $n\in\mathbb{N}$. Les polynômes $H_n$ vérifient $\left(e^{-x^2}\right)^{(n)}=(-1)^nH_n(x)e^{-x^2}$.
L’exercice 3 est un exercice de probabilités sur des tirages successifs de boules dans une urne.
CCINP 2025. Section PSI
Epreuve de longueur et de difficulté moyennes constituée d’un exercice et deux problèmes.
L’exercice est un exercice facile de probabilités. On majore de deux manière la probabilité $\mathbb{P}(X\geqslant2\lambda)$ où $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$.
Dans le premier problème, on travaille sur des séries de Fourier sans qu’aucune connaissance sur ce thème hors progarmme ne soit nécessaire. On établit en particulier l’égalité valable pour tout $x$ de $]0,\pi[$ : $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\sin(x)}{n}=\dfrac{\pi-x}{2}$.
.Le deuxième problème est consacré à l’inégalité de Hadamard : $\forall M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $|\text{det}(M)|\leqslant\displaystyle\prod_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n}m_{i,j}^1\right)^{\frac{1}{2}}$. Le problème s’intéresse ensuite la famille des matrices de Hadamard pour lesquelles l’inégalité est en fait une égalité.