Concours commun Mines-Ponts 2022
Les rapports de jurys du concours commun Mines-Ponts sont à cette adresse https://concoursminesponts.fr/ecrits/.Mines 2022. Section MP
Sujet très long et difficile. Thème : équivalent du nombre $p_n$ de solutions en nombres entiers de l’équation $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ka_k=n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ (formule asymptotique de Hardy et Ramanujan). On montre que $p_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\dfrac{\text{exp}\left(\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}\right)}{4\sqrt{3}n}$. Parties de cours abordées : séries de fonctions, intégration terme à terme, produits infinis, dénombrements, variables aléatoires, loi géométrique.
Sujet de longueur et de difficulté moyennes. Thème : exponentielles de matrices, algèbre de Lie. Parties de cours abordées : propriétés usuelles de l’exponentielle d’une matrice, matrices orthogonales et matrices de déterminant $1$, décomposition de Dunford, dérivation des fonctions vectorielles.
Mines 2022. Section PC
Sujet très long et difficile. Une partie du sujet est identique à la première épreuve de MP. L’objectif est moins ambitieux. On établit que $p_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}O\left(\dfrac{\text{exp}\left(\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}\right)}{n}\right)$.
Sujet long et assez difficile. Pour $M$ matrice carrée donnée, on s’intéresse au maximum de l’expression $\left|X^TMY\right|$ où $X$ et $Y$ sont deux vecteurs colonnes unitaires et au lien existant entre ce maximum et les valeurs propres de la matrice. Le problème utilise à part égale des thèmes classiques d’algèbre et d’analyse.
Mines 2022. Section PSI
Même sujet que PC maths 1.
Sujet de longueur et de difficulté moyennes. Thème : comportement asymptotique des solutions d’un système différentiel linéaire du type $X’=MX$ quand $M$ est une matrice semi-simple c’est-à-dire une matrice réelle diagonalisable dans $\mathscr{M}_n(\mathbb{C})$. On utilise des thèmes classiques d’algèbre (réduction des matrices carrées, polynômes, …) tout autant que de l’analyse.