Concours commun des instituts nationaux polytechniques (CCINP) 2024
CCINP 2024. Section MP et MPI
Sujet de longueur et de difficulté moyennes composé de deux exercices et un problème.
L’exercice I porte sur les probabilités. On y redémontre que si $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$, $\mathbb{E}(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(X>k)$.
L’exercice II nous fait chercher les solutions développables en série entière l’équation $x^2y^{(2)}+4xy’+\left(2-x^2\right)y=0$.
Le problème nous fait établir de deux manières différentes l’égalité $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$. Les thèmes d’analyse utilisés sont : développement en série entière de Arcsin$(x)$, intégration terme à terme, étude d’intégrales à paramètres.
Sujet de longueur et de difficulté moyennes composé de deux exercices et un problème.
L’exercice I et le problème sont ceux de l’épreuve de Maths2, MP.
L’exercice II est un exercice d’analyse. On y étudie la fonction $x\mapsto\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}$.
Sujet de longueur et de difficulté moyennes, composé de deux exercices et d’un problème.
L’exercice 1 nous fait diagonaliser la matrice $\begin{pmatrix}-4&2&-2\\-6&4&-6\\-1&1&-3\end{pmatrix}$ puis résoudre la récurrence $\left\{\begin{array}{l}u_{n+1}=-4u_+2v_n-2w_n\\v_{n+1}=-6u_n+4v_n-6w_n\\w_{n+1}=-u_n+v_n-3w_n\end{array}\right.$.
L’exercice 2 est un exercice d’informatique. On y construit un certain nombre de fonctions python permettant d’effectuer différentes actions dans le groupe $\left(S_n,\circ\right)$ des permutations de $\{1,\ldots,n\}$, comme par exemple tester si un sous-ensemble de $S_n$ est un sous-groupe du groupe $(S_n,\circ)$.
Le problème traite des matrices symétriques réelles, définies positives. On y établit entre autre le critère de Sylvester (Soit $A\in S_n(\mathbb{R})$. $A\in S_n^{++}(\mathbb{R})\Leftrightarrow\forall k\in\{1,\ldots,n\},\;\text{det}\left(A_k\right)>0)$ où $A_k=\left(a_{i,j}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant k}$).
CCINP 2024. Section PC
Sujet assez long et de difficulté moyenne composé de trois exercices.
L’exercice 1 étudie racines cubiques d’une matrice carrée réelles.
L’exercice 2 montre l’existence et l’unicité de $f~:~]0,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}$ vérifiant : (i) $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ (ii) $\forall x>0,\;f(x+1)-f(x)=\ln(x)$ (iii) $f(1)=0$ (iv) $f’$ est croissante sur $]0,+\infty[$. La plupart des thèmes usuels de l’analyse y défilent.
L’exercice 3 est un exercice de probabilité. Au cours de tirages successifs avec remise d’une boule dans une urne contenant $n$ boules numérotées de $1$ à $n$, on s’intéresse à la variable $T_n$ égale au numéro du tirage pour lequel on a obtenu pour la première fois deux numéros identiques. A l’aide de thèmes classiques d’analyse, on montre que $\mathbb{E}\left(T_n\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\sqrt{\dfrac{\pi n}{2}}$ ….
CCINP 2024. Section PSI
Sujet long et assez difficile par endroit composé d’un exercice et de deux problèmes.
L’exercice nous propose une démonstration de la formule de Stirling à l’aide de la fonction $\Gamma~:~x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\;dt$. On y établit entre autres la formule : $\forall x>0$, $\Gamma(x)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{n^xn!}{x(x+1)\ldots(x+n)}$.
Le problème 1 est consacré aux probabilités. On s’intéresse dans ce problème aux files d’attente à un guichet : temps d’arrivée du $n$-ème client, comportement de la file …
Le problème 2 est un problème d’algèbre linéaire/analyse. On étudie d’abord les blocs de Jordan $J_\lambda=\begin{pmatrix}\lambda&0&\ldots&\ldots0\\
1&\lambda&\ddots& &\vdots\\
0&1&\ddots&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\
0&\ldots&0&1&\lambda\end{pmatrix}$ puis on résout le système différentiel $X’=J_\lambda X$. On définit au passage l’exponentielle (sans employer le mot) de la matrice $tJ_\lambda$.