Concours commun Centrale 2023

Les rapports de jurys du concours commun Centale-Supelec sont à cette adresse http://centrale-supelec.scei-concours.org/CentraleSupelec.

Centrale 2023. Section MP. Mathématiques 1. Enoncé / Corrigé.

Epreuve très longue et assez difficile consacrée au « calcul ombral ». On commence par étudier différents endomorphismes de $\mathbb{K}[X]$ puis une suite de polynômes $\left(q_n\right)$ vérifiant pour tout $n$ et tout $a$, $q_n(X+a)=q_n(X)+a$. La dernière partie étudie les polynômes Laguerre.
Centrale 2023. Section MP. Mathématiques 2. Enoncé / Corrigé (une question non résolue, la dernière).

Epreuve d’analyse assez longue et de difficulté moyenne. On y démontre le « théorème central limite ». Dans un premier temps, on calcule l’intégrale de Gauss : $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{u^2}{2}}\;du$ puis on donne un équivalent de $1-\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{u^2}{2}}\;du$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
On montre enfin que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\mathbb{P}\left(u\leqslant\dfrac{1}{\sqrt{n}}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_i\leqslant v\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{u}^{v}e^{-\frac{x^2}{2}}\;dx$ où les $X_i$ sont des variables aléatoires indépendantes prenant les valeurs $1$ et $-1$ de manière équiprobable.

Centrale 2023. Section PC. Mathématiques 1. Enoncé / Corrigé.

Epreuve de longueur et de difficulté moyennes consacrée au théorème de Perron-Frobenius. Les principaux thèmes de cours utilisés sont : matrices symétriques réelles, symétriques réelles positives, rayon spectral, normes subordonnées …
Centrale 2023. Section PC. Mathématiques 2. Enoncé / Corrigé.

Epreuve longue et de difficulté moyenne. On étudie la famille de polynômes $\left(H_n\right)$ où $H_0=1$ et pour $n\geqslant1$, $H_n=\dfrac{1}{n!}\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1}(X-i)$.
Dans la dernière partie, on lance une infinité de fois une pièce de monnaie avec une probabilité $p$ d’obtenir Pile. On détermine alors les probabilités des événements « à l’issue des $2n$ premiers lancers, il y a pour la première fois autant de Pile que de Face » et « au bout d’un certain nombre de lancers, il y a autant de Pile que de Face ».

Centrale 2023. Section PSI. Mathématiques 1. Enoncé / Corrigé.

Epreuve de longueur et de difficulté moyenne. De l’algèbre linéaire. On y étudie les endomorphismes de $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ conservant le rang et/ou la trace et/ou le déterminant et/ou le polynôme caractéristique.
Centrale 2023. Section PSI. Mathématiques 2. Enoncé / Corrigé.

Epreuve très longue et de difficulté moyenne d’analyse et probabilités. La dernière partie établit la « loi de l’arcsinus » concernant des déplacements aléatoires sur un axe gradué et les éventuels retours à l’origine. On prépare le terrain au début du problème avec un calcul de l’intégrale de Gauss $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}\;dx$ grâce à l’étude de l’intégrale à paramètre $x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{-x^2\left(1+t^2\right)}}{1+t^2}\;dt$. On poursuit par l’établissement de la formule de Stirling améliorée : $n!\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n}\left(1+\dfrac{1}{12n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)$.

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