PETITES MINES. ANNEES 2004-2007

Thèmes du 1er problème

1. Etude de la fonction $t\mapsto e^{-1/t}/t$, développements limités.
2. Etude de la courbe paramétrée $t\mapsto\left(e^{-1/t}/{t^2},e^{-1/t}/t\right)$.
3. Intégrale fonction de la borne supérieure.
4. Equations différentielles linéaires du premier ordre : $x^2y’+y=x^2$.
5. Formule de Leibniz.
6. Suites.

Thèmes du 2ème problème

1. Etude de l’arc paramétré de l’espace $t\mapsto\left(\cos(t)/\sqrt{2},\sin(t),-\cos(t)/\sqrt{2}\right)$.
2. Polynômes : relations entre coefficients et racines.
3. Applications linéaires : noyau et image.
4. Projection orthogonale.
5. Matrices : changement de bases, calcul de puissances d’une matrice de projection.

Thèmes du 1er problème

1. Etude de la fonction $x\mapsto e^{-1/x}/x^2$, points d’inflexions.
2. Calculs d’aires.
3. Résolution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre : $x^2y’+(2x-1)y=0$.
4. Fonctions indéfiniment dérivables, formule de Leibniz.

Thèmes du 2ème problème

1. Polynômes d’interpolation de Lagrange.
2. Applications linéaires : noyau et image.
3. Projections.
4. Polynômes de matrices.

Thèmes du 1er problème

1. Applications injectives, surjectives, bijectives.
2. Nombres complexes : racines carrées, équations du second degré.
3. Coniques : axes, foyers et excentricité d’une hyperbole.
4. Polynômes : relations entre coefficients et racines, ordre de multiplicité d’une racine.
5. Matrices : inverse d’une matrice (2,2), étude de deux ensembles de matrices.

Thèmes du 2ème problème

1. Etude de fonctions trigonométriques : $t\mapsto\sin(t)/(2-\cos(t))$.
2. Résolution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre : $y’+\sin(x)/(2-\cos(x))y=2\sin(x)$.
3. Etude d’une courbe en polaires : $\theta\mapsto r(\theta)=\sin(\theta)/(2-\cos(\theta))$.

Thèmes du 1er problème

1. Etude de l’arc paramétré $t\mapsto\left(t\ln^3(t),t\ln^2(t)\right)$.
2. Résolution d’équations différentielles linéaires : $xy’-\alpha y=0$ et $x^2y$′′$+(1-2\alpha)xy’+\alpha^2y=0$.

Thèmes du 2ème problème

1. Arithmétique : utilisation des théorèmes de Bézout et Gauss.
2. Matrices : calcul de puissances de matrices, limite d’une suite de matrices.
3. Etude d’un endomorphisme d’un espace de fonctions.

Thèmes du 1er problème

1. Géométrie affine euclidienne en dimension 3 : équations de plans, vecteur normal, produit vectoriel, intersection d’une sphère et d’un plan.
2. Etude d’endomorphismes en dimension 3, noyau et images, formules de changement de bases.
3. Calcul de puissances d’une matrice (3,3), résolution d’une récurrence linéaire d’ordre 2.
4. Projections orthogonales en dimension 3.

Thèmes du 2ème problème

1. Etude des fonctions $x\mapsto x/\ln(x)$ et $x\mapsto\left(x^2-1\right)/\ln(x)$.
2. Récurrence du type $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$, inégalité des accroissements finis.
3. Construction de la courbe paramétrée $t\mapsto\left(t/\ln(t),\left(t^2-1\right)/\ln(t)\right)$.
4. Résolution de l’équation de Bernoulli $-x^2z’+xz=z^2$ par la résolution d’une équation différentielle linéaire auxiliaire.
5. Etude d’une fonction définie par une intégrale.

Thèmes du 1er problème

• Etude de la fonction $t\mapsto e^{-t}\cos(t)$.
• Calcul de l’aire d’un domaine infini.
• Etude de la spirale logarithmique $t\mapsto\left(e^{-t}\cos(t),e^{-t}\sin(t)\right)$.
• Matrices de similitudes.

Thèmes du 2ème problème

1. Commutant d’une matrice.
2. Puissances de matrices.
3. Sous-espace engendré par deux matrices.
4. Expression analytique d’une symétrie.
5. Coniques : ellipses et hyperboles.

Thèmes du 1er problème

1. Résolution de l’équation différentielle linéaire du premier ordre : $(1-x)^2=(2-x)y$.
2. Développements limités.
3. Dérivée $n$-ème de la fonction $x → e^{1/(1-x)}/(1-x)$ (utilisation de la formule de Leibniz).
4. Formule de Taylor.

Thèmes du 2ème problème

1. Rotations en dimension 3.
2. Commutant d’une matrice.
3. Etude de suites de points : puissance $n$-ème d’une matrice.

Thèmes du 1er problème

1. Résolution de l’équation différentielle linéaire du premier ordre $z’+z\text{th}(t)=t\text{th}(t)$.
2. Etude de l’arc paramétré $t\mapsto(t-\text{th}(t),1/\text{ch}(t))$ (tractrice de chaînette).
3. Suites d’intégrales.

Thèmes du 2ème problème

1. Structure d’un ensemble de matrices.
2. Calcul de puissances d’une matrice.
3. Formule de Taylor.