PETITES MINES. ANNEES 2008-2011

Thèmes du 1er problème

1. Etude de la fonction $x\mapsto\ln(1+x)/x$.
2. Développements limités.
3. Tracé d’une courbe en polaires.
4. Approximation de l’intégrale sur $[0,1]$ de $t\mapsto\ln(1+t)/t$.
5. Dérivée $n$-ème d’une fonction. Formule de Leibniz.

Thèmes du 2ème problème

1. Matrices carrées de format 2.
2. Puissances $n$-èmes de matrices.
3. Noyau et image.
4. Formules de changement de bases.

1. Etude de la fonction $t\mapsto 1/(1+t^a)$.
2. Etude de l’arc paramétré $t\mapsto(1/(1+t^a),1/(1+t^b))$.
3. Etude locale en un point d’inflexion.
4. Développements limités.
5. Etude d’une fonction définie par une intégrale.

Thèmes du 2ème problème

1. Arithmétique : démonstration du petit théorème de Fermat.
2. Etude d’un ensemble de matrices.
3. Trace d’une matrice carrée.
4. Puissance n-ème d’une matrice carrée.
5. Récurrence linéaire double.

1. Etude d’un endomorphisme de $\mathbb{R}_2[X]$.
2. Matrices et changement de bases.
3. Puissances n-ème d’une matrice.
4. Sommes de Riemann.
5. Equations de droites, plans et sphères en dimension 3.
6. Distance d’un point à une droite en dimension 3.
7. Coniques.

Thèmes du 2ème problème

1. Etude de la fonction $x\mapsto x\text{sh}(1/x)$.
2. Développements limités.
3. Courbes paramétrées.
4. Equation différentielle linéaire du premier ordre $xy’+y=\text{ch}(x)$.
5. Etude d’une suite définie implicitement.
6. Etude d’une fonction définie par une intégrale.

1. Etude de la fonction $x\mapsto 3xe^{\left(-x^2\right)}-1$.
2. Points d’inflexions.
3. Développements limités.
4. Equation différentielle linéaire du premier ordre $xy’-(n-2x^2)y=n-2x^2$.
5. Etude de suites définies implicitement.
6. Etude de la courbe paramétrée $t\mapsto\left(\ln3+2ln(t)-t^2,t-t^3/3\right)$.

Thèmes du 2ème problème

1. Racines carrées d’un nombre complexe.
2. Coniques.
3. Etude d’un endomorphisme de $\mathbb{C}[X]$.
4. Division euclidienne dans $\mathbb{C}[X]$.
5. Matrice d’un endomorphisme, déterminant.
6. Noyau et image d’un endomorphisme.
7. Définition d’un produit scalaire sur $\mathbb{R}_2[X]$.
8. Matrices orthogonales.

Thèmes du 1er problème

1. Etude d’un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$.
2. Matrices et changement de bases.
3. Puissances p-ème d’une matrice.
4. Equations différentielles linéaires du premier ordre $y’-\dfrac{nx-n(a+b)/2}{(x-a)(x-b)}y=0$.
5. Coniques.

Thèmes du 2ème problème

1. Etude des fonctions $x\mapsto\sin(x)/x$ et $x\mapsto(1-\cos(x))/x$.
2. Etude de fonctions définies par une intégrale.
3. Lemme de Lebesgue.

Thèmes du 1er problème

1. Géométrie et nombres complexes.
2. Etude d’une suite de triangles.
3. Calcul matriciel, inverse d’une matrice (3,3).
4. Formules de changement de bases.

Thèmes du 2ème problème

1. Etude de la fonction $x\mapsto x^{1/x}$.
2. Dérivabilité d’une réciproque.
3. Etude de la suite définie par : $t_0=1$ et $\forall n\in\mathbb{N}$, $t_{n+1}=x^{t_n}$.