Concours commun Centrale 2021
Les rapports de jurys du concours commun Centale-Supelec sont à cette adresse https://www.concours-centrale-supelec.fr/sujets-rapports.Centrale 2021. Section MP
Epreuve très longue et assez difficile, consacrée à la « loi du demi-cercle » : les valeurs propres d’une matrice symétrique réelle constituée de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, centrées, réduites, se répartissent suivant un demi-cercle. On y utilise du cours sur les matrices symétriques réelles, beaucoup d’inégalités sont établies. Une partie du problème dénombre les mots bien parenthésés. On utilise du cours sur les variables aléatoires, de l’analyse aussi avec le calcul des moments $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-2}^{2}x^k\sqrt{4-x^2}\;dx$.
Epreuve d’analyse assez longue et assez difficile, avec beaucoup de thèmes classiques. On commence par les polynômes de Tchebychev puis on établit une inégalité dite de Bernstein : pour tout polynôme trigonométrique $f$ de degré inférieur ou égal à $n$, $\|f’\|_\infty\leqslant n\|f\|_\infty$. On fait un détour par la transformée de Fourier, le produit de convolution et les fonctions plateaux puis on établit des inégalités généralisant l’inégalité de Bernstein.
Centrale 2021. Section PC
Epreuve assez longue et de difficulté moyenne. On commence par l’étude d’une marche aléatoire sur $\mathbb{Z}$. Un dénombrement nous conduit ensuite vers les nombres de Catalan : $C_0=1$ et $\forall n\in\mathbb{N}$, $C_{n+1}=\displaystyle\sum_{r=0}^{n}C_rC_{n-r}$. On détermine ensuite ces nombres grâce à leur série génératrice. La deuxième moitié du problème s’intéresse aux déterminants de Haenkel et à leurs liens avec les nombres de Catalan.
Epreuve très longue et assez difficile. On se consacre dans ce problème à des calculs de valeurs approchées d’intégrales avec des formules du type $\displaystyle\int_If(x)w(x)\;dx\simeq\displaystyle\sum_{j=0}^n\lambda_jf\left(x_j\right)$ où $w$ est une fonction donnée et les $x_j$ sont des réels de $I$ indépendants de $f$. On analyse en particulier la méthode des trapèzes. On retrouve dans ce problème des thèmes classiques d’écrit : polynômes de Lagrange, polynômes orthogonaux, nombres de Bernoulli …
Centrale 2021. Section PSI
Epreuve de longueur et de difficulté moyenne, assez fastidieux. On commence par analyser des marches aléatoires sur différents graphes. On continue par une partie très classique sur les matrices stochastiques. On applique alors ce travail à l’algorithme PageRank.
Epreuve longue, de difficulté moyenne consacrée aux « fonctions hypergéométriques ». Des polynômes et en particulier, les polynômes de Laguerre, la fonction $\Gamma$ d’Euler, des séries entières solutions d’équations différentielles linéaires du second ordre et on termine par la loi hypergéométrique avec du cours sur les variables aléatoires.