Concours commun Centrale 2025
Les rapports de jurys du concours commun Centale-Supelec sont à cette adresse https://www.concours-centrale-supelec.fr/sujets-rapports.
Centrale 2025. Section MP
Epreuve longue de difficulté moyenne. On commence par établir un encadrement de $\pi(x)$, le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux au réel $x$ : $\forall x\geqslant3$, $\dfrac{\ln(2)}{6}\dfrac{x}{\ln(x)}\leqslant\pi(x)\leqslant4\dfrac{x}{\ln(x)}$. Cet encadrement peut constituer un point de départ vers l’établissement du théorème des nombres premiers $\pi(x)\underset{x\rightarrow+\infty}{\sim}\dfrac{x}{\ln(x)}$ qui est admis par l’énoncé. On utilise ensuite ce théorème pour prouver l’irrationalité de $\zeta(2)=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^2}$.
Epreuve très longue et assez difficile par endroit, dont le titre est : étude d’un modèle probabiliste de ferromagnétisme. On y mêle de l’algèbre (avec par exemple des matrices d’adjacence de graphes), de l’analyse et des probabilités.
Centrale 2025. Section PC
Epreuve longue et assez difficile par endroit. On essaie d’adapter le principe d’incertitude d’Eisenberg au cas discret. On commence avec un peu d’analyse (cas continu) avec l’étude de la fonction $\widehat{G_a}~:~\xi\mapsto\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}G_a(t)e^{-i\xi t}\;dt$ où $G_a~:~t\mapsto e^{-\frac{at^2}{2}}$, que l’on dérive par exemple. On passe ensuite à de l’algèbre avec des matrices carrées symétriques réelles, du théorème spectral, …
Epreuve d’analyse assez longue et de difficulté moyenne.
Une fonction $f~:~\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ est dite $\alpha$-höldérienne (avec $\alpha\in]0,1[$) si et seulement si $\exists K>0/\;\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;|f(x)-f(y)|\leqslant K|x-y|^\alpha$. On établit à travers le problème qu’une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et $2\pi$-périodique est $\alpha$-höldérienne si et seulement si la distance, pour la norme $\|\;\|_\infty$, de $f$ à l’espace des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal à $n$ est dominée par $\dfrac{1}{n^\alpha}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Centrale 2025. Section PSI
Epreuve de longueur et de difficulté moyenne. On étudie d’abord une norme sur $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$, dite subordonnée à la norme euclidienne usuelle $\|\;\|$ : $\forall A\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$, $N(A)=\underset{\|X\|=1}{\text{sup}}\|AX\|$. On étudie ensuite le conditionnement d’une matrice $A\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ : $\text{cond}(A)=N(A)N\left(A^{-1}\right)$. On établit sur ce conditionnement une inégalité dite de Kantorovich. On utile beaucoup dans ce problème la notion de matrice symétrique réelle, positive ou définie, positive.
Epreuve longue et pénible, de difficulté moyenne qui prend comme point de départ la célèbre « formule » : $1+2+\ldots+n+\ldots=-\dfrac{1}{12}$. On y établit de nombreuses formules sommatoires dont celles d’Euler-Maclaurin utilisant les polynômes de Bernoulli.