PETITES MINES. ANNEES 2000-2003

Thèmes du 1er problème

1. Etude de la fonction $t\mapsto e^{t}/\left(1+t^2\right)$, développements limités.
2. Dérivée n-ème de la fonction $t\mapsto e^{t}/\left(1+t^2\right)$, étude d’une suite de polynômes.
3. Intégrale fonction de la borne supérieure.

Thèmes du 2ème problème

1. Sous-espace vectoriel engendré par la famille de fonctions $\left(f_1~:~t\mapsto e^{t}, f_2~:~t → e^{-t/2}\sin\left(t\sqrt{3/2}\right), f_3~:~t\mapsto e^{-t/2}\cos\left(t\sqrt{3/2}\right)\right)$.
2. Résolution de l’équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants $y$′′$+y’+y =\lambda e^t$.
3. Résolution de l’équation différentielle linéaire du troisième ordre à coefficients constants $y$′′′$= y$.

Thèmes du 1er problème

1. Existence et calcul de l’intégrale $I(\alpha)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{1+x^\alpha}\;dx$, $\alpha\in\mathbb{R}$.
2. Calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\cos(kx)$.
3. Montre que la fonction $x\mapsto\left(\cos(x/\alpha)-1\right)/\sin(x/2)$, prolongée par continuité en $0$, est de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$.
4. Etablir que $I(\alpha)=\pi/\left(\alpha\sin(\pi/\alpha)\right)$.

Thèmes du 2ème problème

1. Construction de l’algèbre des quaternions.
2. Matrices carrées complexes de format 2.
3. Trace, déterminant, produit scalaire.

Thèmes du 1er problème

1. Etude de la fonction $t\mapsto\text{Arctan}(t)/t$.
2. Intégrale fonction de la borne supérieure.
3. Inégalité des accroissements finis.
4. Etude d’une suite du type $u_{n+1}=\varphi\left(u_n\right)$.

Thèmes du 2ème problème

1. Espaces euclidiens.
2. Matrices orthogonales et automorphismes orthogonaux.

Thèmes du 1er problème

1. Algèbre linéaire.
2. Matrices semblables.
3. Matrices nilpotentes.
4. Matrices semblables à leur inverse.

Thèmes du 2ème problème

1. $\zeta(2)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$.
2. Calcul de $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\cos(kt)$.
3. Montrer que $\zeta(2)$ est irrationnel.

Thèmes du 1er problème

1. Calcul des intégrales $\displaystyle\int_a^b(\sin(\theta))^{2p+1}(\cos(\theta))^{2q+1}\;d\theta$.
2. Etude des fonctions $x\mapsto x\ln(1-(a/x))$, $a\in]0,+\infty[$ .
3. Etude de la suite $y_n=(1-(a/n))^n$.

Thèmes du 2ème problème

1. Exponentielle d’une matrice nilpotente d’indice 3.
2. Puissances de matrices.
3. Changement de bases.
4. Formules de Taylor.

Thèmes du 1er problème

1. Suites vérifiant $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=au_n+P(n)$ où $P$ est un polynôme.
2. Noyau et image d’une application linéaire.
3. Polynômes : une famille de polynômes dont les degrés sont deux à deux distincts est libre.

Thèmes du 2ème problème

1. Etude de l’équation $\displaystyle\int_x^y\varphi(t)\;dt=1$ d’inconnue $y$, $\varphi$ étant fonction donnée puis étude de la fonction $x\mapsto y(x)$ ainsi obtenue.

Thèmes du 1er problème

1. Résolution de l’équation fonctionnelle : $\forall x\in\mathbb{R}$, $f(2x)=2f(x)/\left(1+(f(x))^2\right)$.
2. Etude des fonctions $x\mapsto\text{ch}(x)$, $x\mapsto\text{sh}(x)$ et $x\mapsto\text{th}(x)$.
3. Développements limités.
4. Résolution de l’équation différentielle linéaire du premier ordre : $xy’+3y=1/\left(1-x^2\right)$.

Thèmes du 2ème problème

1. Calcul de $\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\sin((k\pi)/2n$).
2. Décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle.
3. Binôme de Newton : identités combinatoires.
4. Calcul matriciel, changement de bases.

Thèmes du 1er problème

• Etude de l’équation fonctionnelle : $\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2$, $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$.
• Trigonométrie hyperbolique.
• Intégrale fonction de la borne supérieure.
• Résolution de l’équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants : $y »=\mu y$, $\mu\in\mathbb{R}$.

Thèmes du 2ème problème

1. Tout hyperplan de $M_n(\mathbb{R})$ contient une matrice inversible.
2. Trace d’une matrice.
3. Matrices élémentaires.
4. Matrice d’une permutation.
5. Rang d’une matrice.