Concours commun des instituts nationaux polytechniques (CCINP) 2021

CCINP 2021. Section MP

Sujet de longueur et de difficulté moyennes composé de deux exercices et un problème. L’exercice 1 nous fait établir les égalités $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(t)}{1-t^2}\;dt=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2n+1)^2}=\dfrac{\pi^2}{8}$. Dans l’exercice 2, on étudie une fonction numérique de deux variables dans le but d’en trouver le minimum. Le problème est consacré à l’étude de la fonction $\zeta$ de Riemann : $\forall s>1$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^s}$. On y établit en particulier que pour tout $s>1$, $\zeta(s)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{p_k^s}}$ où $\left(p_k\right)_{k\in\mathbb{N}^*}$ est la suite des nombres premiers.

Sujet assez court et de difficulté moyenne composé d’un exercice et un problème. L’exercice nous fait établir déterminer, dans $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ muni du produit scalaire canonique $(A,B)\mapsto\text{Tr}\left({^†}AB\right)$, l’orthogonal de l’espace des matrices diagonales. Le problème est consacré à la décomposition de Dunford d’une matrice carrée complexe. On y utilise du cours sur la réduction, l’exponentielle d’une matrice et un peu de topologie.

CCINP 2021. Section PC

Sujet long et assez difficile par endroit, composé de trois exercices indépendants. L’exercice 1 est consacré aux urnes de Polya. On y étudie la somme des termes d’une suite de variables aléatoires. L’exercice 2 s’intéresse à l’équation fonctionnelle : $\forall x>0$, $f(x+1)+f(x)=\dfrac{1}{x^2}$. On y utilise les thèmes de cours suivants : séries de fonctions, dérivation et intégration terme à terme, intégralité … Dans l’exercice 3, on analyse la suite de fonctions $\left(f_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ définies sur $[0,+\infty[$ par : $\forall x\geqslant0$, $f_0(x)=1$ et $\forall n\in\mathbb{N}$, $f_{n+1}(x)=\dfrac{1}{2}\left(f_n(x)+\dfrac{1}{f_n(x)}\right)$. Cette suite de fonctions converge uniformément vers la fonction $f~:~x\mapsto\sqrt{x}$ sur tout segment contenu dans $[0,+\infty[$ (algorithme de Héron). On applique ensuite ces résultats à l’étude d’une suite de matrices.

CCINP 2021. Section PSI

Sujet assez long et assez difficile par endroit, composé de deux problèmes indépendants. Le problème 1 est consacré à l’étude des séries entières $\displaystyle\sum_{n\geqslant1}\dfrac{x^n}{n^\alpha}$, $\alpha>0$. Les thèmes usuels de l’analyse y défilent. Le problème 2 se fixe pour but de démontrer que pour toute $C\in\mathscr{M}_n(\mathbb{C})$, $\text{det}\left(I_n+C\overline{C}\right)$ est un réel positif. On y utilise bon nombre de résultats sur la réduction des matrices carrées.