Concours E3A 2023
E3A 2023. Section MP/MPI
- E3A 2023. Section MP. Enoncé / Corrigé
Sujet long et de difficulté moyenne, composé de 4 exercices indépendants.
L’exercice 1 est consacré à l’étude d’un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$. Les thèmes de cours utilisés sont : formule de Taylor pour les polynômes, ordre de multiplicité d’une racine, valeurs et vecteurs propres.
L’exercice 2 étudie la fonction $x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{1}t^{t^x}\;dt$. On y utilise les résultats classiques sur les intégrales à paramètres et un théorème d’intégration terme à terme.
L’exercice 3 nous fait étudier l’endomorphisme $\Psi$ de $E=C^0([0,+\infty[,\mathbb{R})$ défini par : $\forall f\in E$, $\forall x\in\mathbb{R}$, $\Psi(f)(x)=\displaystyle\int_0^1f(xt)\;dt$. On y détermine $\text{Ker}(\Psi)$, $\text{Im}(\Psi)$, les éléments propres de $\Psi$, …
L’exercice 4 est un exercice de probabilités. On génère aléatoirement des matrices carrées et on s’intéresse aux variables aléatoires respectivement égales à la trace, au rang et au déterminant des matrices obtenues.
- E3A 2023. Section MPI. Enoncé / Corrigé
Sujet long et de difficulté moyenne, composé de 4 exercices indépendants.
Les trois premiers exercices sont identiques au sujet de MP.
L’exercice 4 est un exercice de probabilités. On étudie une suite de variables aléatoires $\left(X_n\right)$ où pour $n\in\mathbb{N}$, $X_n$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p_n\in]0,1[$ (les différents paramètres ne sont donc pas nécessairement égaux).
E3A 2023. Section PC
- E3A 2023. Section PC. Enoncé / Corrigé
Sujet de longueur raisonnable et de difficulté moyenne, composé de 4 exercices indépendants.
L’exercice 1 étudie les endomorphismes $u$ d’un espace $E$ de dimension finie vérifiant $u^2-3u+2Id_E=0$.
L’exercice 2 étudie une suite de variables aléatoires à valeurs entières dont la loi de probabilité est : $\forall n\geqslant2$, $\forall k\in\mathbb{N}^*$, $\mathbb{P}\left(X_n=k\right)=a_{k-1}-a_k$ où $a_k=1-\left(1-\dfrac{1}{2^k}\right)^{n-1}$. On y détermine un équivalent de $\mathbb{E}\left(X_n\right)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
L’exercice 3 est consacré aux symétries orthogonales par rapport à des droites : $s_u~:~x\mapsto2\dfrac{\langle x,u\rangle}{\langle u,u\rangle}u-x$.
L’exercice 4 nous fait étudier une suite d’intégrales à paramètres : $\forall n\in\mathbb{N}$, $\forall x\in\mathbb{R}$, $I_n(x)=\displaystyle\int_0^1\left(1-t^2\right)^n\cos(xt)\;dt$. Entre autre, on dérive cette intégrale à paramètre et on la développe en série entière.
E3A 2023. Section PSI
- E3A 2023. Section PSI. Enoncé / Corrigé
Sujet long et de difficulté moyenne, composé de 4 exercices indépendants.
L’exercice 1 est consacré à un couple de variables aléatoires entières dont la loi est : $\forall(i,j)\in\{1,…,n+1\}^2$, $\mathbb{P}(\{X=i\}\cap\{Y=j\})=\alpha\displaystyle\binom{n}{i-1}\binom{n}{j-1}$ où $\alpha$ est à déterminer.
L’exercice 2 étudie la suite d’intégrales : $\forall n\in\mathbb{N}^*$, $I_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{1-t}{1-t^{n+1}}\;dt$. On y établit que $I_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\dfrac{1}{2}+\dfrac{\pi^2}{6n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)$. On y utilise entre autre le théorème de convergence dominée.
L’exercice 3 étudie les matrices $A\in\mathscr{M}_p(\mathbb{R})$ vérifiant $A^T=A^n$ pour un certain $n$.
L’exercice 4 propose un calcul des intégrales de Fresnel $\displaystyle\int_0^{+\infty}\cos\left(x^2\right)\;dx=\displaystyle\int_0^{+\infty}\sin\left(x^2\right)\;dx=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}$ à l’aide de l’étude de l’intégrale à paramètre $x\mapsto\displaystyle\int_0^1\dfrac{e^{ix\left(1+t^2\right)}}{1+t^2}\;dt$.