Concours E3A 2019

E3A 2019. Section MP

• E3A 2019. Section MP. Mathématiques 1. Enoncé / Corrigé

  Sujet assez long et de difficulté moyenne, composé de 4 exercices indépendants. L’exercice 1 est un exercice sur les séries de fonctions. On y calcule la somme $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{\alpha^n\cos(nx)}{n!}$. L’exercice 2 est un exercice d’algèbre linéaire. On y calcule le déterminant d’un certain endomorphisme de $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$. L’exercice 3 est consacré à la résolution d’une équation fonctionnelle. On ramène le problème à la résolution d’une équation différentielle linéaire du second ordre que l’on résout en cherchant des solutions développables en série entière. Enfin, dans l’exercice 4, on munit $\mathbb{R}_n[X]$ du produit scalaire $\langle P,Q\rangle=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\;dt$ puis on étudie un certain endomorphisme symétrique de l’espace euclidien $(E,\langle\;,\;\rangle)$.

• E3A 2019. Section MP. Mathématiques 2. Enoncé / Corrigé

  Sujet assez court avec quelques passages difficiles, composé d’un unique problème d’algèbre linéaire. Une matrice carrée étant donnée, on s’intéresse aux sommes $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_i^k$, $k\in\mathbb{N}$, où $\lambda_1$, … , $\lambda_n$, sont les valeurs propres de cette matrice.

E3A 2019. Section PC

• E3A 2019. Section PC. Mathématiques 1. Enoncé / Corrigé

  Sujet de longueur et de difficulté moyennes, composé de 4 exercices indépendants. L’exercice 1 est un exercice d’analyse autour de la somme $\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{2}+\ldots+\dfrac{1}{p_n}$ où $p_n$ est le premier entier $p$ tel que $\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{2}+\ldots+\dfrac{1}{p}>1$. L’exercice 2 étudie un endomorphisme de l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal à $2n$. Dans l’exercice 3, on s’intéresse aux suites $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ vérifiant : $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_{n+3}=u_n$. Enfin, dans l’exercice 4, on calcule l’exponentielle d’une matrice carrée de format $2$.

• E3A 2019. Section PC. Mathématiques 2. Enoncé / Corrigé

  Sujet de longueur et de difficulté moyennes, constitué d’un unique problème. On y étudie l’intégrale à paramètres $x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{(-1+ix)t}}{\sqrt{t}}\;dt$, $\lambda>0$.

E3A 2019. Section PSI

• E3A 2019. Section PSI. Mathématiques 1. Enoncé / Corrigé

  Sujet de longueur et de difficulté moyennes, composé de 4 exercices indépendants. L’exercice 1 étudie l’endomorphisme de $E=C^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ qui à un élément $f$ de $E$ associe $x\mapsto\displaystyle\int_{x-1}^{x}f(t)\;dt$ puis la restriction de cet endomorphisme à $\mathbb{R}_n[X]$. On y parle entre autres de valeurs propres, de vecteurs propres et de diagonalisabilité. L’exercice 2 est bref. Il se consacre à une variable aléatoire suivant une loi de Poisson. Dans l’exercice 3, on on montre qu’un hyperplan de $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ contient au moins une matrice inversible. On travaille aussi avec le produit scalaire canonique sur $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ : $(A,B)\mapsto\text{Tr}\left({^t}AB\right)$. L’exercice 4 étudie quant à lui les suites réelles $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ vérifiant : $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=u_n+u_n^2$.

• E3A 2019. Section PSI. Mathématiques 2. Enoncé / Corrigé

  Sujet de longueur et de difficulté moyennes, composé d’un unique problème. Dans les parties 0 et 1, on s’intéresse à un système différentiel du type $X’=AX$ où $A$ est la matrice de Vandermonde des nombres $1$, $j$ et $j^2$. On rétablit au passage des résultats généraux sur les déterminants de Vandermonde. Dans la partie 2, on applique ces résultats à la résolution de l’équation différentielle $y^{(3)}=y$. On est amené à utiliser des séries entières. Sur la fin du problème, on établit des résultats sur une matrice compagnon et on applique ces résultats à la résolution de l’équation différentielle $y^{(2p)}=y$.