Concours commun polytechnique 2023
CCP 2023. Section MP et MPI
- CCP 2023. Section MP. Mathématiques 1. Enoncé et Corrigé.
Sujet de longueur et de difficulté moyennes composé de deux exercices et un problème.
L’exercice I est un exercice d’informatique. On y calcule le produit de deux matrices d’adjacence puis on détermine le nombre minimal d’étapes pour aller d’un point à un autre dans un graphe.
L’exercice II nous fait chercher les extrema locaux d’une fonction de deux variables. On y utilise la matrice hessienne.
Le problème nous fait établir la formule des compléments : $\forall\alpha\in]0,1[,\;\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha)=\dfrac{\pi}{\sin(\alpha\pi)}$. On en déduit un calcul de l’intégrale de Gauss $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\;dt$.
Les thèmes de cours utilisés sont : intégrales fonction de la borne supérieure, convergence d’une intégrale, intégrales à paramètres, séries de fonctions, théorème de convergence dominée.
- CCP 2023. Section MPI. Mathématiques 1. Enoncé et Corrigé.
Sujet de longueur et de difficulté moyennes composé de deux exercices et un problème.
L’exercice I nous fait déterminer la norme subordonnée à la norme $\|\;\|_\infty$ d’une matrice carrée.
L’exercice II et le problème sont ceux de l’épreuve de Maths1, MP.
- CCP 2023. Section MP. Mathématiques 2. Enoncé et Corrigé.
Sujet de longueur moyenne un peu délicat par endroits composé de deux exercices et d’un problème.
L’exercice 1 nous fait calculer la distance de $X^2$ à $\mathbb{R}_1[X]$ pour le produit scalaire $\langle P|Q\rangle=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}P(t)Q(t)e^{-t}\;dt$.
L’exercice 2 porte sur la loi de la variable aléatoire $\text{sup}(X,Y)$ où $X$ et $Y$ sont deux variables indépendantes et de mêmes lois.
Le problème traite de la décomposition d’un endomorphisme $u$ en combinaisons linéaires de projecteurs : $u=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\lambda_ip_i$ où $\displaystyle\sum_{i=1}^{m}p_i=Id_E$ et $\forall i\neq j,\;p_i\circ p_j=0$.
CCP 2023. Section PC
- CCP 2023. Section PC. Enoncé et Corrigé.
Sujet assez long et de difficulté moyenne composé de trois exercices.
L’exercice 1 étudie les endomorphismes cycliques. Les thèmes classiques de l’algèbre linéaire sont utilisés.
L’exercice 2 est un exercice d’analyse sur la fonction dilogarithme : $\forall x\in]-\infty,1]$, $L(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{xt}{e^t-x}\;dt=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n^2}$. Les thèmes usuels d’analyse y défilent : intégrabilité, intégrales à paramètres, séries de fonctions, intégration terme à terme, séries entières …
L’exercice 3 est un exercice de probabilité. Les thèmes utilisés sont : loi binomiale, espérance, séries entières (fonctions génératrices) …
CCP 2023. Section PSI
- CP 2023. Section PSI. Enoncé et Corrigé.
Sujet long et de difficulté moyenne composé d’un exercice et de deux problèmes.
L’exercice nous fait étudier la fonction de Bessel $x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos(x\sin(t))\;dt$. Les thèmes utilisés sont : intégrales à paramètres, équations différentielles linéaires du second (recherche d’une solution développable en série entière). On en déduit le calcul des intégrales de Wallis : $W_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{2n}(t)\;dt$.
Le problème 1 est consacré aux probabilités : étude d’une marche aléatoire sur $\mathbb{Z}$ et en particulier étude du nombre moyen de passages par l’origine.
Le problème 2 est un problème d’algèbre linéaire. On y calcule $\displaystyle\lim_{k\rightarrow+\infty}A^k$ où $A$ est une matrice carrée dont toutes les valeurs propres sont de module strictement inférieur à $1$.