Concours commun des instituts nationaux polytechniques (CCINP) 2023
CCINP 2023. Section MP et MPI
Sujet de longueur et de difficulté moyennes composé de deux exercices et un problème.
L’exercice I est un exercice d’informatique. On y calcule le produit de deux matrices d’adjacence puis on détermine le nombre minimal d’étapes pour aller d’un point à un autre dans un graphe.
L’exercice II nous fait chercher les extrema locaux d’une fonction de deux variables. On y utilise la matrice hessienne.
Le problème nous fait établir la formule des compléments : $\forall\alpha\in]0,1[,\;\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha)=\dfrac{\pi}{\sin(\alpha\pi)}$. On en déduit un calcul de l’intégrale de Gauss $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\;dt$.
Les thèmes de cours utilisés sont : intégrales fonction de la borne supérieure, convergence d’une intégrale, intégrales à paramètres, séries de fonctions, théorème de convergence dominée.
Sujet de longueur et de difficulté moyennes composé de deux exercices et un problème.
L’exercice I nous fait déterminer la norme subordonnée à la norme $\|\;\|_\infty$ d’une matrice carrée.
L’exercice II et le problème sont ceux de l’épreuve de Maths1, MP.
Sujet de longueur moyenne un peu délicat par endroits composé de deux exercices et d’un problème.
L’exercice 1 nous fait calculer la distance de $X^2$ à $\mathbb{R}_1[X]$ pour le produit scalaire $\langle P|Q\rangle=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}P(t)Q(t)e^{-t}\;dt$.
L’exercice 2 porte sur la loi de la variable aléatoire $\text{sup}(X,Y)$ où $X$ et $Y$ sont deux variables indépendantes et de mêmes lois.
Le problème traite de la décomposition d’un endomorphisme $u$ en combinaisons linéaires de projecteurs : $u=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\lambda_ip_i$ où $\displaystyle\sum_{i=1}^{m}p_i=Id_E$ et $\forall i\neq j,\;p_i\circ p_j=0$.
CCINP 2023. Section PC
Sujet assez long et de difficulté moyenne composé de trois exercices.
L’exercice 1 étudie les endomorphismes cycliques. Les thèmes classiques de l’algèbre linéaire sont utilisés.
L’exercice 2 est un exercice d’analyse sur la fonction dilogarithme : $\forall x\in]-\infty,1]$, $L(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{xt}{e^t-x}\;dt=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n^2}$. Les thèmes usuels d’analyse y défilent : intégrabilité, intégrales à paramètres, séries de fonctions, intégration terme à terme, séries entières …
L’exercice 3 est un exercice de probabilité. Les thèmes utilisés sont : loi binomiale, espérance, séries entières (fonctions génératrices) …
CCINP 2023. Section PSI
Sujet long et de difficulté moyenne composé d’un exercice et de deux problèmes.
L’exercice nous fait étudier la fonction de Bessel $x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos(x\sin(t))\;dt$. Les thèmes utilisés sont : intégrales à paramètres, équations différentielles linéaires du second (recherche d’une solution développable en série entière). On en déduit le calcul des intégrales de Wallis : $W_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{2n}(t)\;dt$.
Le problème 1 est consacré aux probabilités : étude d’une marche aléatoire sur $\mathbb{Z}$ et en particulier étude du nombre moyen de passages par l’origine.
Le problème 2 est un problème d’algèbre linéaire. On y calcule $\displaystyle\lim_{k\rightarrow+\infty}A^k$ où $A$ est une matrice carrée dont toutes les valeurs propres sont de module strictement inférieur à $1$.