Concours commun des instituts nationaux polytechniques (CCINP) 2022

CCINP 2022. Section MP

Sujet de longueur et de difficulté moyennes composé d’un exercice et un problème. L’exercice porte sur les probabilités : loi géométrique, fonctions génératrices, deux questions d’informatique. Le problème nous fait calculer les intégrales de Fresnel $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{it^2}\;dt$, $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\cos\left(t^2\right)dt$ et $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\sin\left(t^2\right)dt$. Les thèmes de cours utilisés sont : intégrales fonction de la borne supérieure, convergence d’une intégrale, intégrales à paramètres, séries de fonctions, théorème de convergence dominée.

Sujet de longueur et de difficulté moyennes composé de deux exercices et un problème. L’exercice 1 nous fait calculer un déterminant de Vandermonde. L’exercice 2 traite de quelques propriétés usuelles de l’exponentielle d’une matrice. Le problème traite de l’exponentielle d’une matrice et du produit de Hadamard de deux matrices : $\left(a_{i,j}\right)*\left(b_{i,j}\right)=\left(a_{i,j}b_{i,j}\right)$.

CCINP 2022. Section PC

Sujet de longueur et de difficulté moyennes composé de trois exercices. L’exercice 1 étudie un endomorphisme de $\mathbb{C}_n[X]$. Les thèmes de cours sont : division euclidienne, valeurs et vecteurs propres d’un endomorphisme, polynômes de Lagrange. L’exercice 2 est un exercice de probabilités étudiant des séries de pile ou face : loi de probabilité d’une variable aléatoire, fonctions génératrices, espérance et variance. L’exercice 3 est un exercice d’analyse portant sur la constante d’Euler $\gamma=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}-\ln(n)\right)$. On y établit en particulier l’égalité $\gamma=-\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-t}\ln(t)\;dt$ à l’aide du théorème de convergence dominée.

CCINP 2022. Section PSI

Sujet long et assez difficile composé de deux problèmes. Le problème 1 s’intéresse aux intégrales de Gauss et à la formule de Moivre-Laplace. On établit que $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\;dt=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ à l’aide du théorème de convergence dominée puis on établit en partie que, d’une certaine façon, « une suite de loi binomiale tend vers une loi normale ». Le problème 2 est un problème d’algèbre linéaire et bilinéaire. On commence par montrer qu’une matrice carrée de rang 1 s’écrit $X\times Y^T$ où $X$ et $Y$ sont deux vecteurs colonnes non nuls puis on étudie les matrices de rang 1. On montre ensuite que toute matrice carrée réelle $A$ peut s’écrire sous la forme $A=QT$ où $Q$ est une matrice orthogonale et $T$ une matrice triangulaire.