Concours E3A 2020

E3A 2020. Section MP. Enoncé / Corrigé

Sujet assez long et de difficulté moyenne, composé de 5 exercices indépendants. L’exercice 1 analyse la somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant presque une loi géométrique. L’exercice 2 étudie la limite en $+\infty$ de $\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\text{ch}\left(\dfrac{x}{k}\right)$. On montre la continuité de la fonction limite et l’intégralité de son inverse. L’exercice 3 se place dans l’espace des suites « à double entrée » $\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{Z}}$. On cherche à savoir si deux normes sont équivalentes. L’exercice 4 s’intéresse à l’espace euclidien $\left(\mathbb{R}_n[X],\langle\;,\rangle\right)$ où $\langle P,Q\rangle=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\;dt$. On y utilise des connaissances sur les fractions rationnelles. Enfin, l’exercice 5 nous fait redémontrer le lemme de Césaro à l’aide du théorème de convergence dominée pour les suites de fonctions.

E3A 2020. Section PC. Enoncé / Corrigé

Sujet de longueur et de difficulté moyennes, composé de 5 exercices indépendants. L’exercice 1 étudie la diagonalisablité de la matrice $\left(\begin{array}{ccc}1&a&0\\0&0&1\\0&1&0\end{array}\right)$. L’exercice 2 étudie l’intégrale à paramètre $x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{1+xt}\;dt$. L’exercice 3 est un exercice sur les séries entières. Dans l’exercice 4, on travaille sur les puissances d’une matrice ainsi que ses racines carrées. On applique les résultats obtenus au calcul de la loi d’une variable aléatoire, de son espérance et de sa variance. Dans l »exercice 5, on munit $\mathbb{R}_2[X]$ du produit scalaire $\langle P,Q\rangle=P(1)Q(1)+P'(1)Q'(1)+P »(1)Q »(1)$ puis on détermine le projeté orthogonal d’un certain polynôme sur un certain sous-espace.

E3A 2020. Section PSI. Enoncé / Corrigé

Sujet de longueur et de difficulté moyennes, composé de 4 exercices indépendants. L’exercice 1 est un exercice d’analyse où on étudie la somme d’une série de fonctions. L’exercice 2 est consacré à des calculs de probabilité sur l’ensemble des matrice carrées de format $3$. . Dans l’exercice 3, on trouve un équivalent quand $n$ tend vers $+\infty$ de $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{|\sin(nt)|}{t}\;dt$.. Dans l’exercice 4, on travaille dans un espace euclidien de dimension $2$ et on s’intéresse à une certaine isométrie de cet espace.

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