Concours commun Centrale 2026

Les rapports de jurys du concours commun Centale-Supelec sont à cette adresse https://www.concours-centrale-supelec.fr/sujets-rapports.

Centrale 2026. Section MP

Epreuve très longue et difficile par endroit. Dans une première partie, on s’intéresse sous-groupes finis du groupe $\left(O_n(\mathbb{R},\times\right)$. On les détermine complètement dans le cas $n=2$ et on les caractérise dans le cas général. Dans une deuxième partie, on s’intéresse aux sous-groupes compacts du groupe $\left(GL_n(\mathbb{R}),\times\right)$. On montre qu’un tel sous-groupe est un sous-groupe de $O(A)$, le groupe orthogonal d’une certaine matrice $A\in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ où $O(A)=\left\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})/\;M^TAM=A\right\}$. Enfin, dans la troisième partie, on définit la croissance d’un groupe puis on étudie la croissance du groupe de Heisenberg discret : c’est le sous-groupe de $GL_n(\mathbb{R})$ engendré par les trois matrices $S=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$, $T=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ et $U=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.

Epreuve de longueur et de difficulté moyenne. On prolonge la fonction $\zeta~:~s\mapsto\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^s}$ à l’ensemble des nombres complexes de partie réelle strictement positive et distincts de $1$. On montre ensuite que sous une certaine hypothèse, la fonction $\zeta$ (prolongée) ne s’annule pas sur l’ensemble des nombres complexes $s$ tels que $\text{Re}(s)>\dfrac{1}{2}$. On utilise pour cela les fonctions $f_k~:~t\mapsto\dfrac{1}{k}\left\lfloor\dfrac{1}{t}\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{1}{kt}\right\rfloor$, $k\geqslant2$.

Centrale 2026. Section PC

Epreuve de longueur et de difficulté moyennes. Il s’agit d’expliquer les calculs effectués par Urbain Le Verrier jusqu’à la découverte de la planète Neptune. On commence par mettre en place des résultats de base sur les ellipses. On écrit ensuite le système différentiel régissant les mouvements de Jupiter, Saturne et Uranus puis on résout. On analyse en fin de problème l’influence sur les trajectoires obtenues, de petites perturbations des coefficients de la matrice du système.

Epreuve

Centrale 2026. Section PSI

Epreuve de probabilités assez longue et de difficulté moyenne. On lance plusieurs fois une pièce de monnaie, la probabilité d’obtenir Pile à chaque lancer étant égale à $p\in]0,1[$. On note $X_n$ la variable aléatoire égale au rang $k\in\mathbb{N}^*$ du lancer pour lequel on obtient $n$ Pile consécutifs pour la première fois. On détermine explicitement la loi de $X_1$ et $X_2$ et on établit entre autres que $\mathbb{E}\left(X_2\right)=\dfrac{p+1}{p^2}$ et $\mathbb{V}\left(X_2\right)=\dfrac{1}{p^4}+\dfrac{2}{p^3}-\dfrac{2}{p^2}-\dfrac{1}{p}$. On détermine ensuite un équivalent simple de $\mathbb{P}\left(X_3=k\right)$. Dans le cas où $n$ est quelconque, on détermine explicitement la fonction génératrice puis l’espérance de $X_n$. En fin de problème, on établit que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, au cours d’une succession de lancers de la pièce, la probabilité d’obtenir au moins $n$ côtés pile consécutifs est égale à $1$.

Epreuve de longueur et de difficulté moyennes. Le sujet se consacre aux polynômes de Jacobi : la famille des polynômes de Jacobi est l’orthonormalisée de la base canonique de $\mathbb{R}[X]$ pour le produit scalaire $(P,Q)\mapsto\langle P,Q\rangle=\displaystyle\int_{-1}^{1}(1-x)^\alpha(1+x)^\beta P(t)Q(t)\;dt$ où $\alpha>-1$ et $\beta>-1$. On établit bon nombre de résultats classiques : les racines sont dans $]-1,1[$, relation de récurrence linéaire double, orthogonalité … On analyse le cas particulier $\alpha=\beta=0$ qui fournit les polynômes de Legendre : $L_k=\dfrac{1}{2^kk!}\left(\left(X^2-1\right)\right)^k$ pour lesquels on démontre que pour tout $x\in[-1,1]$, pour tout $t\in]-1,1[$, $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}L_k(x)t^k=\dfrac{1}{\sqrt{1-2tx+x^2}}$.