Concours commun Mines-Ponts 2024
Les rapports de jurys du concours commun Mines-Ponts sont à cette adresse https://concoursminesponts.fr/ecrits/.
Mines 2024. Section MP
Sujet de longueur et de difficulté moyenne. De l’analyse classique : du calcul intégral, de l’intégration terme à terme, des intégrales à paramètres … On y calcule les intégrales de Dirichlet généralisées $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-(\cos(t))^{2p+1}}{t^2}\;dt$. On montre l’égalité $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{x-1}}{1+t}\;dt=\dfrac{\pi}{\sin(\pi x)}=\dfrac{1}{x}-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{2(-1)^nx}{n^2-x^2}$, valable pour tout $x\in]0,1[$. On applique ces calculs au calcul de l’espérance d’une somme de variables aléatoires de Rademacher.
Epreuve assez longue, difficile et intéressante. On y étudie des graphes (notion hors programme et définie dans l’énoncé). Dans la première partie, on étudie la matrice d’adjacence associée à un graphe (rang, polynôme caractéristique …). Puis on introduit et on étudie la notion de fonction de seuil en probabilité des graphes aléatoires.
Mines 2024. Section PC
Epreuve d’analyse assez longue et très pénible dont le but est de démontrer l’inégalité $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\ln(f(x))f(x)\dfrac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}\;dx\leqslant\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{(f'(x))^2}{f(x)}\dfrac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}\;dx$ valable pour toute fonction $f$ de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}$, strictement positive, telle que les fonctions $f$, $f’$, $f^{(2)}$ et $\dfrac{f’^2}{f}$ soient à croissances lentes et telle que $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\dfrac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}\;dx=1$. Beaucoup d’intégrales à paramètre et d’utilisation du théorème de convergence dominée.
Sujet d’algèbre de longueur et de difficulté moyenne. On analyse d’abord les matrices de Hadamard, matrices $H\in\mathscr{M}_{n}(\mathbb{R})$ à coefficients dans $\{-1,1\}$ telles que $\dfrac{1}{\sqrt{n}}H$ soit une matrice orthogonale. On s’intéresse ensuite aux « matrices de distance euclidienne » : $A_1,\;\ldots\;,A_n$ étant $n$ points de $\mathbb{R}^m$, la « MDE » associée est $\left(d\left(A_i,A_j\right)^2\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$.
Mines 2024. Section PSI
Même épreuve que celle de la section PC.
Sujet de longueur et de difficulté moyenne. Une première partie d’analyse où on essaie de généraliser le résultat de cours sur les sommes de Riemann pour des fonctions continues sur un segment $[a,b]$ au cas de fonctions continues et intégrables sur un intervalle ouvert $]a,b[$. La deuxième partie est consacrée à l’étude d’une marche alétoire : on part de l’origine, on fait des pas de $1$ vers la gauche ou vers la droite. On établit alors que le nombre moyen de passages par l’origine en $n$ déplacements est équivalent à $\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}{\sqrt{n}}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.