Exercices d’oraux type CCINP
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Soit $M$ une matrice qui n’est pas une homothétie. Montrer que $M$ est semblable à une matrice dont la première colonne est $\begin{pmatrix}1\\1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}$.
Soit $M\in\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$ qui n’est pas une matrice scalaire. Donc $n\geqslant2$.
On note $\mathscr{B}_0=\left(e_1,\ldots,e_n\right)$ la base canonique de $\mathbb{K}^n$ et $f$ l’endomorphisme de $\mathbb{K}^n$ canoniquement associé à $M$. Donc, $f$ n’est pas une homothétie.
On cherche deux vecteurs $u_1$ et $u_2$ tels que la famille $\left(u_1,u_2\right)$ soit libre et $f\left(u_1\right)=u_1+u_2$ ou encore $(f-Id)\left(u_1\right)=u_2$. On pose $g=f-Id$.
Supposons par l’absure que pour tout $x\neq0$, la famille $(x,g(x))$ est liée ou encore que pour tout $x\neq0$, $g(x)$ est colinéaire à $x$ (car $x\neq0$). Soit $(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2$ tel que $i\neq j$. Par hypothèse, il existe $\left(\lambda_i,\lambda_j,\lambda\right)\in\mathbb{K}^3$ tel que $g\left(e_i\right)=\lambda_ie_i$, $g\left(e_j\right)=\lambda_je_j$ et $g\left(e_i+e_j\right)=\lambda\left(e_i+e_j\right)$. Donc,
$$\lambda e_i+\lambda e_j=g\left(e_i+e_j\right)=g\left(e_i\right)+g\left(e_j\right)=\lambda_ie_i+\lambda_je_j$$
puis, la famille $\left(e_i,e_j\right)$ étant libre, $\lambda_i=\lambda=\lambda_j$. On en déduit qu’il existe $\lambda\in\mathbb{K}$ tel que pour tout $i\in\{1,\ldots,n\}$, $g\left(e_i\right)=\lambda e_i$. Les endomorphismes $g$ et $\lambda Id$ coïncident sur une base de $E$ et donc, $g=\lambda Id$ puis $f=(\lambda+1)Id$. Ceci contredit le fait que $f$ n’est pas une homothétie.
Donc, il existe $u_1\in E\setminus\{0\}$ tel que $\left(u_1,g\left(u_1\right)\right)$ soit une famille libre. En posant, $u_2=g\left(u_1\right)=f\left(u_1\right)-u_1$, la famille $\left(u_1,u_2\right)$ est libre et de plus, $f\left(u_1\right)=u_1+u_2$.
On complètre la famille libre $\left(u_1,u_2\right)$ en une base $\mathscr{B}=\left(u_1,u_2,\ldots,u_n\right)$. La première colonne de $\text{Mat}_{\mathscr{B}}(f)$ est $\begin{pmatrix}1\\1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}$ et cette matrice est semblable à $\text{Mat}_{\mathscr{B}_0}(f)=M$.
Pas de commentaire particulier.