Exercices d’oraux type Centrale/Mines

Enoncé (Centrale)

On se place dans un espace probabilisé $(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})$. Pour $n\in\mathbb{N}$, on définit les variables aléatoires $X_n$ et $Y_n$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ qui vérifient :

$$\forall(p,q)\in\mathbb{N}^2,\;\mathbb{P}\left(X_n=p,Y_n=q\right)=\left\{\begin{array}{l}\dfrac{n!}{p!(n-p-q)!}a^pb^qc^{n-p-q}\;\text{si}\;p+q\leqslant n\\0\;\text{sinon}\end{array}\right.,$$

avec $a$, $b$ et $c$ dans $]0,1[$ tels que $a+b+c=1$.

Soit $N$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$. On note $G$ sa fonction génératrice et on suppose que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $N$ est indépendante des variables $X_n$ et $Y_n$.

Enfin,  on pose $U=X_N$ et $V=Y_N$.

1) Soit $(x,y)\in[0,1]^2$. Montrer que la variable $x^Uy^V$admet une espérance finie notée $e(x,y)$ et que $\forall(x,y)\in[0,1]^2$, $e(x,y)=G(ax+by+c)$.

2) On suppose que $N$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda\in]0,+\infty[$. Justifier que l’on a : $\forall(x,y)\in[0,1]^2$, $e(x,y)=e(x,1)e(1,y)$.

3) Réciproquement ,on suppose que : $\forall(x,y)\in[0,1]^2$, $e(x,y)=e(x,1)e(1,y)$. Montrer que $N$ suit une loi de Poisson.

Corrigé

Etablissons d’abord une généralisation de la formule du binôme. Soient $(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$ et $n\in\mathbb{N}$.

\begin{align*}(a+b+c)^n&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}(a+b)^kc^{n-k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\displaystyle\sum_{\substack{(p,q)\in\mathbb{N}^2\\p+q=k}}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\dfrac{k!}{p!q!}a^pb^qc^{n-k}\right)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\displaystyle\sum_{\substack{(p,q)\in\mathbb{N}^2\\p+q=k}}\dfrac{n!}{p!q!(n-k)!}a^pb^qc^{n-k}\right)\\&=\displaystyle\sum_{\substack{(p,q)\in\mathbb{N}^2\\p+q\leqslant n}}\dfrac{n!}{p!q!(n-p-q)!}a^pb^qc^{n-p-q}.\end{align*}

En particulier, si $a$, $b$ et $c$ sont dans $]0,1[$ et vérifient $a+b+c=1$, alors $\displaystyle\sum_{\substack{(p,q)\in\mathbb{N}^2\\p+q\leqslant n}}\dfrac{n!}{p!q!(n-p-q)!}a^pb^qc^{n-p-q}=(a+b+c)^n=1$. L’énoncé définit effectivement une loi de probabilité.

1) On sait que la fonction $G$ est définie sur $[-1,1]$ au moins.

Soit $(x,y)\in[0,1]^2$. Dans ce qui suit, puisque tous les termes sont des réels positifs, toutes les sommes écrites existent et sont éventuellement infinies. De plus, on peut sommer par paquets et permuter les termes à volonté, sans préjuger de le sommabilité. D’après la formule de transfert,

\begin{align*}e(x,y)&=\displaystyle\sum_{(p,q)\in\mathbb{N}^2}x^py^q\mathbb{P}\left(U=p,V=q\right)=\displaystyle\sum_{(p,q)\in\mathbb{N}^2}x^py^q\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}(\{U=p\}\cap\{V=q\}\cap\{N=n\})\right)\\&=\displaystyle\sum_{(p,q)\in\mathbb{N}^2}x^py^q\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}(N=n)\mathbb{P}_{N=n}\left(\{X_N=p\}\cap\{Y_N=q\}\right)\right)=\displaystyle\sum_{(p,q)\in\mathbb{N}^2}x^py^q\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}(N=n)\mathbb{P}\left(\{X_n=p\}\cap\{Y_n=q\}\right)\right)\\&=\displaystyle\sum_{(p,q)\in\mathbb{N}^2}\left(\displaystyle\sum_{n=p+q}^{+\infty}\mathbb{P}(N=n)\dfrac{n!}{p!q!(n-p-q)!}(ax)^p(bx)^qc^{n-p-q}\right)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}(N=n)\left(\displaystyle\sum_{\substack{(p,q)\in\mathbb{N}^2\\p+q\leqslant n}}\dfrac{n!}{p!q!(n-p-q)!}(ax)^p(bx)^qc^{n-p-q}\right)\\&=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}(N=n)(ax+by+c)^n=G(ax+by+c).\end{align*}

Ainsi, pour tout $(x,y)\in[0,1]^2$, $e(x,y)=G(ax+by+c)$. De plus, pour tout $(x,y)\in[0,1]^2$, $0\leqslant ax+by+c\leqslant a+b+c=1$ et donc $e(x,y)=G(ax+by+c)<+\infty$.

2) On suppose que $N$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$. On sait que pour tout réel $t$, $G(t)=e^{\lambda(t-1)}$. Soit $(x,y)\in[0,1]^2$.

$$e(x,1)e(1,y)=G(ax+b+c)G(a+by+c)=G(a(x-1)+1)G(b(y-1)+1)=e^{\lambda a(x-1)}e^{\lambda b(x-1)}=e^{\lambda(ax+by-a-b)}=e^{\lambda(ax+by+c-1)}=G(ax+by+c)=e(x,y).$$

3) Supposons que pour tout $(x,y)\in[0,1]^2$, $e(x,y)=e(x,1)e(1,y)$ ou encore $G(ax+by+c)=G(ax+b+c)G(a+by+c)$ ou enfin

$$G(a(x-1)+b(y-1)+1)=G(a(x-1)+1)G(b(y-1)+1).$$

Pour tout réel $t\in[-2,0]$, on pose $f(t)=G(t+1)$. La fonction est $G$ est continue sur $[-1,1]$ au moins (d’après le lemme d’Abel radial) et de classe $C^1$ sur $]-1,1[$ au moins et donc la fonction $f$ est continue sur $[-2,0]$ au moins et de classe $C^1$ sur $]-2,0[$ au moins. On note encore que la fonction $G$ ne s’annule pas sur $]0,1]$ (somme de réels positifs non tous nuls) et donc la fonction $f$ ne s’annule pas sur $]-1,0]$.

Pour tout $(x,y)\in[0,1]^2$, on a $f(a(x-1))f(b(y-1))=f(a(x-1)+b(y-1))$ ou encore pour tout $(t,t’)\in[-a,0]\times[-b,0]$, $f(t)f(t’)=f(t+t’)$.

Soit $t\in[-a,0[\subset]-1,0[$. Pour tout $t’\in]-b,0[$, $\dfrac{f(t+t’)-f(t)}{t’}=\dfrac{f(t)f(t’)-f(t)}{t’}=f(t)\dfrac{f(t’)-1}{t’}$ puis, en tenant compte de $f(0)=G(1)=1$, $\dfrac{f(t’)-f(0)}{t’}=\dfrac{1}{f(t)}\times\dfrac{f(t+t’)-f(t)}{t’}$ et donc, en tenant compte de $f(t)\neq0$ car $t\in]-1,0[$,

$$\dfrac{f(t’)-1}{t’}=\dfrac{1}{f(t)}\times\dfrac{f(t+t’)-f(t)}{t’}.$$

$f$ est dérivable en $t$ car $[-a,0[\subset]-2,0[$. Mais alors, quand $t’$ tend vers $0$ par valeurs inférieures, $\dfrac{f(t’)-f(0)}{t’}$ a une limite réelle puis $f'(0)=\dfrac{f'(t)}{f(t)}$. Ainsi, pour tout $t\in[-a,0[$, $f'(t)=\lambda f(t)$ où $\lambda=f'(0)$.

Ensuite, $f'(t)$ a une limite réelle quand $t$ tend vers $0$, à savoir $\lambda$, et donc $f$ est de classe $C^1$ sur $[-a,0]$ (d’après le théorème de la limite de la dérivée). L’égalité précédente est encore vraie quand $t=0$. On en déduit encore (en tenant compte de $f(0)=1$) que pour tout $t\in[-a,0]$, $f(t)=e^{\lambda t}$ puis, pour tout $t\in[-a+1,1]$, $G(t)=e^{\lambda(t-1)}$ et finalement,

$$\forall t\in[-a+1,1],\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}(N=n)t^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{\lambda^ne^{-\lambda}}{n!}t^n.$$

Aucun théorème de cours ne venant à notre secours, on admet que l’on peut en déduire

$$\forall n\in\mathbb{N},\;\mathbb{P}(N=n)=\dfrac{\lambda^ne^{-\lambda}}{n!}.$$

En particulier, $\lambda e^{-\lambda}=\mathbb{P}(N=1)$ puis $\lambda=e^\lambda\mathbb{P}(N=1)\geqslant0$. Si $\lambda=0$, $N$ « est » la variable constante égale à $1$ qui convient (car pour tout $t\in\mathbb{R}$, $G(t)=1$). Sinon, $\lambda>0$ puis $N$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$.

Commentaires et/ou rappels de cours

$\bullet$ La formule du multinôme. $\left(a_1+a_2+\ldots+a_p\right)^n=\dfisplaystyle\sum_{k_1+k-2+\ldots+k_p=n}\dfrac{n!}{k_1!k_2!\ldots k_p!}a_1^{k_1}a_2^{k_2}\ldots a_p^{k_p}$. Cette formule n’est pas au programme et peut se démontrer par récurrence par exemple.

$\bullet$ Pour pouvoir identifier les coefficients de deux séries entières, le seul théorème au programme est : si les fonctions $x\mapsto\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ et  $x\mapsto\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n x^n$ coïncident sur un intervalle $]0,\alpha]$ avec $\alpha>0$, alors pour tout $n\in\mathbb{N}$, $a_n=b_n$.

Enoncé

Corrigé

Commentaires et/ou rappels de cours