Exercices d’oraux type Centrale/Mines
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Soit $n$ un entier naturel. On note $E_n$ l’ensemble des applications $f$ de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$ telle que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}f^{(k)}=0$.
1) Montrer que $E_n$ est un espace vectoriel.
2) Donner la dimension de $E_n$ et en préciser une base.
1) Soit $D~:~f\mapsto f’$. $D$ est un endomorphisme de $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ puis, d’après la formeule du binôme de NEWTON, puisque $D$ et $Id$ commutent,
$$(D+Id)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}D^k.$$
Par suite, $E_n=\text{Ker}\left((D+id)^n\right)$ est un sous-espace vectoriel de $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
2) Soit $f\in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
\begin{align*}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}f^{(k)}=0&\Leftrightarrow\forall x\in\mathbb{R},\;\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}f^{(k)}(x)e^x=0\Leftrightarrow\forall x\in\mathbb{R},\;\left(fe^x\right)^{(n)}(x)=0\;(\text{d’après la formule de LEIBNIZ})\\&\Leftrightarrow\exists P\in\mathbb{R}_{n-1}[X]/\;\forall x\in \mathbb{R},\;f(x)e^x=P(x)\Leftrightarrow\exists P\in\mathbb{R}_{n-1}[X]/\;\forall x\in \mathbb{R},\;f(x)=P(x)e^{-x}.\end{align*}
Pour tout $k\in\mathbb{N}$, on note $e_k~:~x\mapsto x^ke^{-x}$. D’après ce qui précède, $E_n=\text{Vect}\left(f_k\right)_{0\leqslant n-1}$ et en particulier, $\text{dim}\left(E_n\right)\leqslant n$. De plus, la famille $\left(f_k\right)_{0\leqslant n-1}$ est libre. En effet, pour $\left(\lambda_k\right)_{0\leqslant k\leqslant n-1}\in\mathbb{R}^n$,
\begin{align*}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\lambda _kf_k=0\Rightarrow\forall x\in\mathbb{R}\;\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_kx^k=0\Rightarrow\lambda_0=\ldots=\lambda_{n-1}=0.\end{align*}
Donc, une base de $E_n$ est $\left(f_k\right)_{0\leqslant k\leqslant n-1}$ et en particulier, $\text{dim}\left(E_n\right)=n$.
De manière générale, on sait que les solutions d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre $n$, à coefficients constants ($a_0y+a_1y’+\ldots+a_ny^{n)}=0$ avec $a_n\neq0$), constituent un espace vectoriel de dimension $n$.