Algèbre en prépa : cours, exercices corrigés et problèmes de concours

Les nombres complexes : algèbre et géométrie

• Notions clés : forme algébrique et forme trigonométrique, parties réelle et imaginaire, conjugué, module et argument, racines n-èmes, similitudes.
• Techniques : choisir la bonne forme pour calculer avec des complexes, déterminer les racines n-èmes d'un nombre complexe, déterminer les éléments caractéristiques d'une similitude.

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Algèbre linéaire : espaces vectoriels, familles de vecteurs, applications linéaires

• Notions clés : sous-espaces, sommes de sous-espaces, sommes directes, familles libres, familles génératrices, bases, dimension, noyau et image d'une application linéaire, rang, projections et symétries.
• Techniques : montrer qu’une famille est libre/génératrice, montrer qu'une somme est directe, calculer une dimension, appliquer le théorème du rang.

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Matrices : calcul matriciel, inversibilité, systèmes d'équations linéaires, déterminants

• Notions clés : matrices de passage, matrices triangulaires, déterminant, rang, inversion.
• Techniques : résoudre un système, exploiter une structure (triangulaire, blocs), utiliser une factorisation simple.

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Réduction, valeurs propres, diagonalisation

• Notions clés : spectre, espaces propres, polynôme caractéristique, sous-espaces stables.
• Techniques : trouver les valeurs propres, déterminer la dimension des espaces propres, conclure sur la diagonalisation.

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Espaces euclidiens, espaces préhilbertiens, produit scalaire, orthogonalité (selon filières)

• Notions clés : orthogonal, projection, bases orthonormées, symétrie, endomorphismes symétriques.
• Techniques : calculer une projection, utiliser un produit scalaire pour une majoration/minoration, diagonaliser un symétrique.

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Polynômes et fractions rationnelles (prépa)

• Notions clés : racines, factorisation, division euclidienne, polynômes d’interpolation (selon programme).
• Techniques : preuve par degré, identification, utilisation d’un polynôme annulateur.

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Arithmétique (selon filières)

• Notions clés : divisibilité, congruences, lemme de Gauss, théorème de Bézout, PPCM/PGCD.
• Techniques : raisonner modulo, utiliser une valuation simple, construire un contre-exemple.

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Montrer qu’une famille est libre / génératrice

• Libre : résoudre la combinaison linéaire nulle, ou utiliser une matrice de colonnes (rang).
• Génératrice : prouver que tout vecteur s’écrit comme combinaison, ou comparer des dimensions.
• Erreur fréquente : conclure “libre donc base” sans vérifier qu’on est dans un espace de dimension finie adaptée.

Le “triangle” noyau / image / rang

• Utiliser systématiquement : dim(E) = dim(Ker f) + dim(Im f).
• Erreur fréquente : confondre rang de la matrice et dimension de l’espace d’arrivée.

Diagonalisation : quand ça marche (et quand ça casse)

• Étape 1 : calculer valeurs propres (polynôme caractéristique si nécessaire).
• Étape 2 : calculer dimensions des espaces propres.
• Conclusion : diagonalisation si la somme des dimensions des espaces propres = dim(E).
• Erreur fréquente : “n valeurs propres distinctes ⇒ diagonalisable” (vrai) mais oublier le cas des multiplicités.

Polynômes : réflexes concours

• Penser “degré” : une égalité de polynômes se prouve souvent via degré + valeurs.
• Penser “annulateur” : un polynôme P tel que P(A)=0 pour une matrice A.
• Erreur fréquente : confondre “égalité en quelques points” et “égalité des polynômes” (il en faut assez selon le degré).