Documents disponibles pour la catégorie Petites Mines Années 2000-2003

  • 8 énoncés de problèmes.
  • 12 corrigés de problèmes.

PETITES MINES. ANNEES 2000-2003

Petites Mines 2003

Petites Mines 2003 Toutes filières

Thèmes du 1er problème

  1. Etude de la fonction $t\mapsto e^{t}/\left(1+t^2\right)$, développements limités.
  2. Dérivée n-ème de la fonction $t\mapsto e^{t}/\left(1+t^2\right)$, étude d’une suite de polynômes.
  3. Intégrale fonction de la borne supérieure.

Thèmes du 2ème problème

  1. Sous-espace vectoriel engendré par la famille de fonctions $\left(f_1~:~t\mapsto e^{t}, f_2~:~t → e^{-t/2}\sin\left(t\sqrt{3/2}\right), f_3~:~t\mapsto e^{-t/2}\cos\left(t\sqrt{3/2}\right)\right)$.
  2. Résolution de l’équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants $y$′′$+y’+y =\lambda e^t$.
  3. Résolution de l’équation différentielle linéaire du troisième ordre à coefficients constants $y$′′′$= y$.

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Petites Mines 2003 Specifique MPSI

Thèmes du 1er problème

  1. Existence et calcul de l’intégrale $I(\alpha)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{1+x^\alpha}\;dx$, $\alpha\in\mathbb{R}$.
  2. Calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\cos(kx)$.
  3. Montre que la fonction $x\mapsto\left(\cos(x/\alpha)-1\right)/\sin(x/2)$, prolongée par continuité en $0$, est de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$.
  4. Etablir que $I(\alpha)=\pi/\left(\alpha\sin(\pi/\alpha)\right)$.

Thèmes du 2ème problème

  1. Construction de l’algèbre des quaternions.
  2. Matrices carrées complexes de format 2.
  3. Trace, déterminant, produit scalaire.

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Petites Mines 2002

Petites Mines 2002 Toutes filières

Thèmes du 1er problème

  1. Etude de la fonction $t\mapsto\text{Arctan}(t)/t$.
  2. Intégrale fonction de la borne supérieure.
  3. Inégalité des accroissements finis.
  4. Etude d’une suite du type $u_{n+1}=\varphi\left(u_n\right)$.

Thèmes du 2ème problème

  1. Espaces euclidiens.
  2. Matrices orthogonales et automorphismes orthogonaux.

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Petites Mines 2002 Specifique MPSI

Thèmes du 1er problème

  1. Algèbre linéaire.
  2. Matrices semblables.
  3. Matrices nilpotentes.
  4. Matrices semblables à leur inverse.

Thèmes du 2ème problème

  1. $\zeta(2)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$.
  2. Calcul de $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\cos(kt)$.
  3. Montrer que $\zeta(2)$ est irrationnel.

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Petites Mines 2001

Petites Mines 2001 Toutes filières

Thèmes du 1er problème

  1. Calcul des intégrales $\displaystyle\int_a^b(\sin(\theta))^{2p+1}(\cos(\theta))^{2q+1}\;d\theta$.
  2. Etude des fonctions $x\mapsto x\ln(1-(a/x))$, $a\in]0,+\infty[$ .
  3. Etude de la suite $y_n=(1-(a/n))^n$.

Thèmes du 2ème problème

  1. Exponentielle d’une matrice nilpotente d’indice 3.
  2. Puissances de matrices.
  3. Changement de bases.
  4. Formules de Taylor.

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Petites Mines 2001 Specifique MPSI

Thèmes du 1er problème

  1. Suites vérifiant $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=au_n+P(n)$ où $P$ est un polynôme.
  2. Noyau et image d’une application linéaire.
  3. Polynômes : une famille de polynômes dont les degrés sont deux à deux distincts est libre.

Thèmes du 2ème problème

  1. Etude de l’équation $\displaystyle\int_x^y\varphi(t)\;dt=1$ d’inconnue $y$, $\varphi$ étant fonction donnée puis étude de la fonction $x\mapsto y(x)$ ainsi obtenue.

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Petites Mines 2000

Petites Mines Sup Toutes filières

Thèmes du 1er problème

  1. Résolution de l’équation fonctionnelle : $\forall x\in\mathbb{R}$, $f(2x)=2f(x)/\left(1+(f(x))^2\right)$.
  2. Etude des fonctions $x\mapsto\text{ch}(x)$, $x\mapsto\text{sh}(x)$ et $x\mapsto\text{th}(x)$.
  3. Développements limités.
  4. Résolution de l’équation différentielle linéaire du premier ordre : $xy’+3y=1/\left(1-x^2\right)$.

Thèmes du 2ème problème

  1. Calcul de $\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\sin((k\pi)/2n$).
  2. Décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle.
  3. Binôme de Newton : identités combinatoires.
  4. Calcul matriciel, changement de bases.

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Petites Mines 2000 Specifique MPSI

Thèmes du 1er problème

  • Etude de l’équation fonctionnelle : $\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2$, $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$.
  • Trigonométrie hyperbolique.
  • Intégrale fonction de la borne supérieure.
  • Résolution de l’équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants : $y »=\mu y$, $\mu\in\mathbb{R}$.

Thèmes du 2ème problème

  1. Tout hyperplan de $M_n(\mathbb{R})$ contient une matrice inversible.
  2. Trace d’une matrice.
  3. Matrices élémentaires.
  4. Matrice d’une permutation.
  5. Rang d’une matrice.

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