Documents disponibles pour la catégorie Intégration

  • 2 énoncés de problèmes.
  • 2 corrigés de problèmes.
  • 8 résumés de cours, formulaires, topos...

Grands classiques de concours : intégration

 

Les intégrales de Wallis : $W_n=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n(t)\;dt$.

Voici un topo sur les intégrales de Wallis.

L’intégrale de Gauss : $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\;dt=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Voici un topo sur l’intégrale de Gauss. On calcule cette intégrale par trois méthodes différentes : utilisation d’une suite d’intégrales et du théorème de convergence dominée, utilisation d’une intégrale à paramètre et du théorème de dérivation sous le signe somme, utilisation d’intégrales doubles.

L’intégrale de Dirichlet : $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\;dt=\dfrac{\pi}{2}$.

Voici un calcul de l’intégrale de Dirichlet.

Les intégrales de Fresnel : $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\sin\left(t^2\right)\;dt=\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}$.

Voici un calcul des intégrales de Fresnel.

La fonction $\Gamma$ : $x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\;dt$.

Voici un topo sur la fonction $\Gamma$ d’Euler.

Existence et calcul de $\displaystyle\int_0^1\dfrac{\ln(t)}{t-1}\;dt$.

Voir le calcul de l’intégrale.

Existence et calcul de $\displaystyle\int_0^1\dfrac{t-1}{\ln(t)}\;dt$.

Voir le calcul de l’intégrale.

Existence et calcul de $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin(t))\;dt$.

Voir le calcul de l’intégrale. On donne un calcul qui utilise l’intégrale $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\cos(t))\;dt$ et un calcul où l’intégrale est obtenue comme limite d’une somme de Riemann. Pour la deuxième méthode, on est amené à calculer $\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\dfrac{k\pi}{2n}\right)$.

Calculs d’intégrales généralisées.

Voici un problème sur les intégrales : ENSAI 2000 MP Mathématiques 2. Enoncé et Corrigé.

On y étudie de nombreuses intégrabilités. On y utilise le théorème de dérivation sous le signe somme (théorème de Leibniz) et le théorème de convergence dominée pour les suites d’intégrales.

Démonstration de l’égalité $\displaystyle\int_0^1\dfrac{t\sin(t)}{1-\cos(t)}\;dt=2\pi\ln(2)$.

On trouve plusieurs calculs de cette intégrale dans le problème de l’ESIM 2002 MP Maths2 : Enoncé et Corrigé.

Presque tout le programme d’analyse y passe : séries de Fourier et théorème de Dirichlet (hors programme aujourd’hui), convergence d’une série numérique, convergence normale d’une série de fonctions, séries entières, continuité et dérivabilité d’une intégrale à paramètre, équations diférentielles linéaires du premier ordre …